Obtain an expression for i L ( t ) In the circuit of Fig. 9.40 that is valid for all t.

Passo 1

Faala, galera! Bora pra mais uma de circuitos RLC, mas agora um pouco diferente. Aqui vamos ter um circuito RLC geral com uma resposta em degrau, já que temos uma função de heaviside na fonte de tensão(-t), o que quer dizer que a expressão de i L será dada por uma resposta de estado estável somada com as repostas de transiente. Da seguinte forma:

i L = i L e s t a d o   e s t á v e l + i L ( t r a n s i e n t e )

Analisando o circuito, podemos ver que a fonte de tensão CC está ativada para t

V c 0 - = 100   V

i L 0 - = 100 50 = 2   A

Portanto, a nossa resposta de estado estável (regime permanente antes do desligamento da fonte), será:

i L 0 = 2   A

Passo 2

Agora vamos analisar o circuito para t > 0. Quando t = 0 a função degrau da fonte(no caso degrau com argumento negativo = descida) fará com que a tensão vá a 0 abruptamente, mas como sabemos a corrente no indutor e a tensão no capacitor não variam abruptamente, logo teremos um transitório. Com a fonte tendo a tensão interrompida, teremos agora um circuito RLC paralelo e para analisar a função da corrente no transiente vamos primeiro encontrar o valor das frequências α   e   ω 0 :

A frequência de neper α será dada por:

α = 1 2 R C = 1 2 × 50 × 2.5 × 10 - 6   = 4000

A frequência natural não amortecida ω 0 , será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 100 3 × 10 - 3 × 2.5 × 10 - 6 = 12 × 10 6  

Agora vamos calcular as raízes da equação característica, que serão dadas por:

S 1,2   =   -   α   ± α 2   - ω 0 2    

Aplicando os valores, teremos:

S 1 =   - 2000

S 2   =   - 60000

Como encontramos duas raízes reais e distintas, nossa expressão de i L ( t ) será da seguinte forma:

i L t =   A 1 e - 2000 t + A 2 e - 6000 t         ( 1 )

Agora vamos utilizar as condições iniciais do período transiente determinadas no Passo 1 (i(0) = 2 A e Vc(0) = 100 V) para encontrar o valor das constante A1 e A2. Primeiramente podemos relacionar o i(0) = 0 com a expressão encontrada para iL:

i L 0 = A 1 e - 2000 × 0 + A 2 e - 6000 × 0 = 2

A 1 + A 2 = 2             ( 2 )

Outra relação que podemos encontrar é entre a tensão do indutor e a tensão no capacitor, que já que estão em paralelo serão iguais, portanto:

A fórmula da tensão no indutor é:

V L = L d i d t

Como a tensão no indutor e no capacitor são iguais:

V L = L d i d t = 100

d i L ( 0 + ) d t = 100 L = 100 100 3 × 10 3 =   - 3000

E agora, podemos derivar (1) e igualar ao valor encontrado para t = 0:

d i L d t =   - 2000 A 1 - 6000 A 2 =   - 3000

- 2000 A 1 - 6000 A 2 =   - 3000           ( 3 )

Agora vamos montar um sistema com as equações (2) e (3):

A 1 + A 2 = 2            

- 2000 A 1 - 6000 A 2 =   - 3000          

Resolvendo o sistema, teremos:

A 1 = 2.25                 e                   A 2 =   - 0.25

Por fim aplicaremos o valor das constantes a expressão (1) para encontrarmos a resposta transiente:

i L t = 2.25 - 200 t - 0.25 e - 6000 t   A

Passo 3

E finalmente, a expressão que representará o comportamento de i L ( t ) será dada pela soma das respostas transiente e de estado estável. Mas um detalhe não pode passar despercebido. Como nós temos uma fonte CC que depende de um degrau na resposta de estado estável. A parcela do estado estável também deverá ser multiplicada pela mesma função degrau (argumento negativo porque irá a zero) e como a resposta transiente só ocorrerá no momento em que a de estado estável se extinguir, ela também deverá ser multiplicado por uma função degrau (mas agora um argumento positivo pois iniciará sua “atuação”), portanto a expressão ficará da seguinte forma:

i L t =   2 u - t + 2.25 - 200 t - 0.25 e - 6000 t u t     A     , ∀ t

Resposta

i L t =   2 u - t + 2.25 - 200 t - 0.25 e - 6000 t u t     A     , ∀ t