Obtenha a Equação 9.20 diretamente da equação de onda, pela separação das variáveis.

Passo 1

Olá galera😊! Como já perceberam, uma das equações fundamentais neste capítulo é a equação de onda, descrita abaixo:

∂ 2 f ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 f ∂ t 2

Como queremos chegar à equação 9.20, vamos procurar soluções que uma estrutura específica, como a indicada abaixo:

f ( z ,   t ) =   Z ( z ) T ( t )

Então vamos inserir as funções Z e T na equação de onda.

T ∂ 2 Z ∂ z 2 =   1 v 2 Z ∂ 2 T ∂ t 2  

Se dividirmos ambos os lados por ZT, teremos:

1 Z ∂ 2 Z ∂ z 2 =   1 T   v 2 ∂ 2 T ∂ t 2

Assim podemos perceber que o lado esquerdo só depende da variável z, em consequência, o lado direito só depende da variável t. Para que os lados se igualem, como na equação de onda, eles devem corresponder a uma constante, que vamos chamar de ( - k ) 2 , sendo assim, teremos:

∂ 2 Z ∂ z 2 = - k 2 Z       ⇒       Z z = A e - i k z + B e - i k z , ∂ 2 T ∂ t 2 = - k v 2 T       ⇒       T t = C e i k v t + D e - i k v t

Observe que k deve ser real, senão Z e T explodem; sem perda de generalidade, podemos assumir que k é positivo. Agora que já chegamos a uma expressão geral para Z e T, que não fere nenhum princípio, podemos voltar a nossa equação f ( z ,   t ) =   Z ( z ) T ( t ) , que será expressa por:

f z ,   t = A e - i k z + B e - i k z C e i k v t + D e - i k v t

f z ,   t =   A 1   e i k z + k v t + A 2   e i k z - k v t + A 3   e i - k z + k v t + A 4 e i - k z   -   k v t

Sendo assim a combinação linear geral de soluções separáveis ​​é, portanto,

f z ,   t = ∫ 0 ∞ A 1 ( k )   e i k z + ω t + A 2 ( k )   e i k z - ω t + A 3 ( k )   e i - k z + ω t + A 4 ( k ) e i - k z   -   ω t   d k

Onde v k = ω . Mas podemos combinar o terceiro termo com o primeiro, permitindo que k seja negativo; da mesma forma o segundo e o quarto. Assim ficamos com:

f z ,   t = ∫ - ∞ ∞ A 1 ( k )   e i k z + ω t + A 2 ( k )   e i k z - ω t   d k

Como, no final, queremos apenas a parte real de f z ,   t , basta manter apenas um desses termos (já que k é negativo, ambos os termos incluem ondas viajando em ambas as direções); o segundo é tradicional (embora qualquer um dos dois sirva). Especificamente:

R e ( f ) = ∫ - ∞ ∞ [ R e   A 1 c o s ( k z + ω t ) - I m   A 1 s i n ( k z + ω t ) + R e   A 2 c o s ( k z - ω t ) - I m   A 2 s i n ( k z - ω t ) ] d k

O primeiro termo, c o s ( k z + ω t ) = c o s ( - k z   -   ω t ) , combina com o terceiro, c o s ( k z   -   ω t ) , pois o k negativo é captado na outra metade do intervalo de integração, e o segundo, s i n ( k z + ω t ) = - s i n ( k z   -   ω t ) , combina com o quarto pelo mesmo motivo. Assim, a solução geral, para nossos propósitos, pode ser escrita na forma.

f ~ z ,   t = ∫ - ∞ ∞ A ~   ( k )   e i k z - ω t   d k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)