Obtenha a Equação 9.20 diretamente da equação de onda, pela separação das variáveis.
Passo 1
Olá galera😊! Como já perceberam, uma das equações fundamentais neste capítulo é a equação de onda, descrita abaixo:
Como queremos chegar à equação 9.20, vamos procurar soluções que uma estrutura específica, como a indicada abaixo:
Então vamos inserir as funções Z e T na equação de onda.
Se dividirmos ambos os lados por ZT, teremos:
Assim podemos perceber que o lado esquerdo só depende da variável z, em consequência, o lado direito só depende da variável t. Para que os lados se igualem, como na equação de onda, eles devem corresponder a uma constante, que vamos chamar de , sendo assim, teremos:
Observe que k deve ser real, senão Z e T explodem; sem perda de generalidade, podemos assumir que k é positivo. Agora que já chegamos a uma expressão geral para Z e T, que não fere nenhum princípio, podemos voltar a nossa equação , que será expressa por:
Sendo assim a combinação linear geral de soluções separáveis é, portanto,
Onde . Mas podemos combinar o terceiro termo com o primeiro, permitindo que k seja negativo; da mesma forma o segundo e o quarto. Assim ficamos com:
Como, no final, queremos apenas a parte real de , basta manter apenas um desses termos (já que k é negativo, ambos os termos incluem ondas viajando em ambas as direções); o segundo é tradicional (embora qualquer um dos dois sirva). Especificamente:
O primeiro termo, , combina com o terceiro, , pois o k negativo é captado na outra metade do intervalo de integração, e o segundo, , combina com o quarto pelo mesmo motivo. Assim, a solução geral, para nossos propósitos, pode ser escrita na forma.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)