Obtenha a impedância da carga Z L para os circuitos vistos na Figura 18.129 de maneira que a potência fornecida à carga seja máxima e calcule o valor dessa potência.

Passo 1

Oiee, pessoal, de boa? Bora para mais um exercício de circuitos!

Primeiro, vamos lembrar que a máxima transferência de potência para carga ocorre quando Z L = Z T h * , isto é, devemos obter o circuito equivalente de Thévenin para o circuito externo à carga Z L .

Iremos começar pelo item (a), beleza? Vamos listar as impedâncias desse circuito.

Z 1 = j X L = 4 Ω   ፈ   90 °  

Z 2 = R =   10 Ω   ፈ   0 °

Z 3 = - j X C 1 =   5 Ω   ፈ   - 90 °

Z 4 = - j X C 2 =   6 Ω   ፈ   - 90 °

Passo 2

Desligando a fonte E , obtemos um curto circuito em seu lugar, de modo que Z 1 e Z 2 ficam em série:

Z 12 = Z 1 +   Z 2 = 4 Ω   ፈ   90 °   +     10 Ω   ፈ   0 ° = 10,77 Ω   ፈ   21,8 °

Esta associação entre Z 1 e Z 2 fica em paralelo com Z 3 :

Z 123 = Z 12 | |   Z 3 = Z 12 Z 3 Z 12 + Z 3 = ( 10,77 Ω   ፈ   21,8 ° ) ( 5 Ω   ፈ   - 90 ° ) 10,77 Ω   ፈ   21,8 °   +   5 Ω   ፈ   - 90 ° = 5,358 Ω   ፈ   - 62,49 °

Passo 3

Por fim, temos uma última associação em série. Logo, Z T h é dado por:

Z T h   = ( ( Z 1 +   Z 2 )   | |   Z 3 )   +   Z 4 = Z 123 + Z 4 = 5,358 Ω   ፈ   - 62,49 ° + 6 Ω   ፈ   - 90 °

= 11,03 Ω   ፈ - 77,04 °

Assim, Z L = Z T h * = 11,03 Ω   ፈ   77,04 °   = 2,47 Ω 5 + 10,749 Ω j   e R T h = 2,475 Ω .

Para determinar E T h , devemos substituir a carga por um circuito aberto e analisar os terminais. Com isso, vemos que E T h é igual a tensão sobre Z 3 (a corrente em Z 4 é nula). Logo, podemos calcular o divisor de tensão:

E T h = E Z 3 Z 1   +   Z 2 + Z 3 = ( 60 V   ፈ 60 ° ) (   5 Ω   ፈ   - 90 ° ) 4 Ω   ፈ   90 °   +   10 Ω   ፈ   0 °   +   5 Ω   ፈ   - 90 ° = 29,85 V   ፈ   - 24,29 °

Portanto, a potência máxima fornecida à carga é de:

P = | E T h | 2 4 R T h = 29,8 5 V 2   4 ( 2,475 Ω ) = 90 W

Passo 4

Em seguida, podemos ir para o item (b). Vamos listar as impedâncias desse circuito. Como R 1 e X L 1 estão em série, assim como R 1 e X L 1 , iremos considerar a impedância resultante destas associações.

Z 1 = R 1 + j X L 1 = ( 3   +   4 j ) Ω   = 5 Ω   ፈ   53,13 °  

Z 2 = - j X C =   8 Ω   ፈ   - 90 °

Z 3 = R 2 + j X L 2 = ( 12   +   9 j ) Ω   = 15 Ω   ፈ   36,87 °

Desligando as fonte E 1 e E 2 , obtemos um curto circuito em seus lugares, de modo que Z 1 e Z 3 ficam em paralelo, e esta associação fica em série com Z 2 . Logo, Z T h é dado por:

Z T h   = Z 2 + (   Z 1 | |   Z 3 ) = 8 Ω   ፈ   - 90 ° + ( 8 Ω   ፈ   - 90 ° ) ( 15 Ω   ፈ   36,87 ° ) 8 Ω   ፈ   - 90 °   +   15 Ω   ፈ   36,87 ° = 5,71 Ω   ፈ   - 64,30 °

Assim, Z L = Z T h * = 5,71 Ω   ፈ   64,30 °   = 2,475 Ω + 5,143 Ω j   e R T h = 2,475 Ω .

Passo 5

Para determinar E T h , iremos substituir a carga por um circuito aberto e analisar seus terminais. Assim, obtemos o seguinte circuito equivalente:

Note que omitimos Z 2 pois nenhuma corrente passa por ela, graças a inserção de um circuito aberto associado em série com esta impedância. Na malha da esquerda, temos, pela LKT:

- E 1 - Z 1 i - Z 3 i + E 2 = 0

Passo 6

Como i = V Z 3 Z 3 , ficamos com:

- E 1 - Z 1 V Z 3 Z 3 - V Z 3 + E 2 = 0 ⇒ E 2 - E 1 = V Z 3 ( 1 + Z 1 Z 3 ) ⇒ E 2 - E 1 = V Z 3 ( Z 3 + Z 1 Z 3 ) ⇒ V Z 3 = Z 3 ( E 2 - E 1 ) Z 1   +   Z 3 = ( 15 Ω   ፈ   36,87 ° ) ( 200 V   ፈ   90 °   -   100 Ω   ፈ   0 ° )   5 Ω   ፈ   53,13 °   +   1 5 Ω   ፈ   36,87 ° = 168,97 V   ፈ   112,5 3 °

Já na malha da direita, temos:

- E 2 + V Z 3 + E T h = 0 ⇒ E T h = E 2 - V Z 3 = 200 V   ፈ   90 ° - 168,97 V   ፈ   112,5 3 ° = 78,24 V   ፈ   34,16 °

Portanto, a potência máxima fornecida à carga é de:

P = | E T h | 2 4 R T h = 78,24 V 2   4 ( 2,475 Ω ) = 618,33 W

Resposta

a. Z L = 2,475 Ω + 10,749 Ω j   e P = 90 W

b. Z L = 2,475 Ω + 5,143 Ω j   e P = 618,33 W