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Obtenha as transformadas de Laplace das funções a seguir:

Y s = 2 s s + 1 2

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

2 s s + 1 2  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + B s + 1 + C s + 1 2

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A , B e C primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + B s + 1 + C s + 1 2 =

A s + 1 2 + B s s + 1   + C s s s + 1 2  

Igualando e cancelando o denominador...

2 s s + 1 2 = A s + 1 2 + B s s + 1   + C s s s + 1 2     →

A s + 1 2 + B s s + 1   + C s = 2

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 2 s + 1 + B s 2 + B s + C s = 2 →

A s 2 + 2 A s + A + B s 2 + B s + C s = 2 →

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + B s 2 + 2 A + B + C s + 4 A = 2   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômio...

A + B = 0

2 A + B + C = 0  

4 A = 2     →         A = 1 2  

Resolvendo esse sisteminha substituindo...

B = - A = - 1 2

E

1 - 1 2 + C = 0   →         C = - 1 2

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

2 s s + 1 2 = 1 2 ⋅ 1 s - 1 2 1 s + 1 - 1 2 ⋅ 1 s + 1 2

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 Y s = 1 2 L 1 s - 1 2 L 1 s + 1 - 1 2 L 1 s + 1 2

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 Y s = 1 2 L 1 s - 1 2 L 1 s + 1 - 1 2 L 1 s + 1 2 =

1 2 - 1 2 e - t - 1 2 e - t   t

Resposta

1 2 - 1 2 e - t - 1 2 e - t   t

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