Outra maneira de preencher o 'elo perdido' na Figura 5.48 é procurar um análogo magnetostático para a Equação 2.21. O candidato óbvio seria

A r = ∫ o r B × d l .

a) Teste está fórmula para o caso mais simples possível-B uniforme (use a origem como seu ponto de referência). O resultado é coerente com o Problema 5.24? Você pode remediar este problema acrescentando um fator 1 2   mas a falha desta equação é mais profunda.

b) Mostre que ∫ ( B × d l ) não é independente do caminho, calculando ∮ ( B × d l ) em torno do circuito retangular mostrado na Figura 5.63.

Até onde eu sei o melhor que se pode fazer seguindo essas linhas é o par de equações

  1. V r = - r ∙ ∫ 0 1 E λ r d λ
  2. A r = - r × ∫ 0 1 λ B λ r d λ

[A Equação (i) equivale a escolher um caminho radial para a integral da Equação 2.21; a equação (ii) constitui uma solução mais simétrica' para o Problema 5.30. ]

c) use (ii) para encontrar o potencial vetorial para B uniforme.

d) use (ii) para encontrar o potencial vetorial de um fio reto infinito pelo qual passa uma corrente estacionária I. (i) satisfaz automaticamente ∇ ∙ A = 0 ? [Resposta: μ 0 I 2 π s z s ^ - s z ^

Passo 1

Olá pessoal! Bora para mais uma!?

Na letra A vamos calcular o campo magnético uniforme e comprar com a solução proposta para A(r), assim temos que:

∫ 0 r B × d l = B ∫ 0 r d l = B × d l

Que como já era esperado B × d l ≠ A = - 1 2 B × d l .

Agora na letra B vamos avaliar se ∮ B × d l não é independente do caminho. Ou seja, calcular ∮ B × d l em torno do circuito retangular mostrado na figura do enunciado. Assim temos que:

B = μ 0 I 2 π s   ϕ ^

Assim:

∮ B × d l = μ 0 I 2 π a - μ 0 I 2 π b s ^ w = μ 0 I w 2 π 1 a - 1 b s ^ ≠ 0

Passo 2

Agora na letra C vamos partir da equação A r = - r × ∫ 0 1 λ B λ r d λ , com B uniforme, assim temos que:

A r = - r × ∫ 0 1 λ B d λ = - r × B ∫ 0 1 λ d λ = - 1 2 r × B

Passo 3

Agora por último a letra D, temos que partir de:

A r = - r × ∫ 0 1 λ B ( λ r ) d λ

Como temos que:

B = μ 0 I 2 π s   ϕ ^

Como temos um B λ r ,   a expressão acima se altera. Ou seja:

B λ r = μ 0 I 2 π λ s   ϕ ^

Agora voltando na primeira equação, temos que:

A r = - r × ∫ 0 1 λ μ 0 I 2 π λ s   ϕ ^ d λ

A r = - μ 0 I 2 π s r × ϕ ^ ∫ 0 1 λ 1 λ d λ = - μ 0 I 2 π s r × ϕ ^

Mas aqui sabemos que r = s s ^ + z z ^ . Com isso temos que:

A r = - μ 0 I 2 π s ( s s ^ + z z ^ ) × ϕ ^

Assim temos que:

A r = - μ 0 I 2 π s ( s s ^ × ϕ ^ + z z ^ × ϕ ^ )

Ou seja:

A r = μ 0 I 2 π s ( z s ^ - s z ^ )

Agora vamos testar se ∇ ∙ A = 0 , assim temos que:

∇ ∙ A = μ 0 I 2 π 1 s 1 s ∂ ∂ s s 2 z s ^ - ∂ ∂ s s 2 z ^ = μ 0 I 2 π 1 s 2 z - 2 s ≠ 0

Isso diz que não satisfaz automaticamente a expressão.

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

  1. Deduzido no passo 1
  2. Deduzido no passo 1
  3. A ( r ) = - 1 2 r × B
  4. A r = μ 0 I 2 π s ( z s ^ - s z ^ )