A parallel RLC circuit is found to have a natural resonant frequency of ω 0 = 70.71 × 10 12   r a d / s . It is known that inductance L = 2 pH.

a) Compute C;

b) Determine the value of resistance R that will lead to an exponential damping coefficient of 5 G s - 1 ;

c) determine the neper frequency of the circuit;

d) compute s1 and s2;

e) calculate the damping ratio of the circuit.

Passo 1

a) Fala, galera! Bora fazer essa, juntos? Aqui o enunciado pediu que a gente calculasse o valor da capacitância do capacitor do circuito RLC. Para isso, vamos manipular a fórmula de ω 0 para chegar a uma expressão para C:

ω 0 = 1 L C

Manipulando essa expressão, ficamos com:

C = 1 ω 0 2 L

Aplicando os valores fornecidos:

C = 1 70.71 × 10 12 2 × 2 × 10 - 12 = 1 × 10 - 16 F = 100   a F   ( a t t o   F a r a d a y )  

Passo 2

b) Para determinar o valor da resistência, vamos utilizar o valor de α dado no enunciado para igualá-lo à seguinte equação de α :

α = 1 2 R C

Aplicando os valores dados no enunciado e o valor da capacitância encontrado anteriormente:

5 × 10 9 = 1 2 × R × 100 × 10 - 18

R = 1   M Ω

Passo 3

c) A frequência de neper de um circuito RLC é o valor de α , portanto:

f r q u ê n c i a   d e   n e p e r = α = 5   G s - 1

Passo 4

d) Para calcular as raízes s1 e s2, basta aplicar os valores de α e ω 0 na equação das raízes da equação característica:

S 1,2 =   α ± α 2 - ω 0 2

S 1 =   - 5 × 10 9 + j 70.71 × 10 12 s - 1

S 2 =   - 5 × 10 9 - j 70.71 × 10 12 s - 1

Passo 5

e) A razão de amortecimento é dada por:

ζ = α ω 0

Calculado:

ζ = 5 × 10 9 70.71 × 10 12 = 7.071 × 10 - 5

Resposta

a) C = 100   a F

b) R = 1   M Ω

c) f r q u ê n c i a   d e   n e p e r = α = 5   G s - 1

d) S 1 =   - 5 × 10 9 + j 70.71 × 10 12 s - 1                               e                           S 2 =   - 5 × 10 9 - j 70.71 × 10 12 s - 1  

d) ζ =   7.071 × 10 - 5