Enunciado

Os parâmetros de circuito para um filtro rejeita-faixa R L C são: R   =   2   k Ω , L   =   0,1   H , C   =   40   p F . Calcule:

(a) A frequência central.

(b) As frequências de meia potência.

(c) O fator de qualidade.

Passo 1

O filtro é um circuito R L C série. Por frequência central o enunciado quer dizer a frequência de ressonância, e por frequência de meia potencia o mesmo refere-se as frequências de corte superior e inferior.

Passo 2

Letra a) Frequência central

A frequência de ressonância é encontrada por

ω 0 = 1 L C

Como dispomos dos valores de C e L então

ω 0 = 1 ( 0,1 ) ( 40 ⋅ 10 - 12 )  

A frequência central é

ω 0 = 0,5 ⋅ 10 6 r a d / s

Passo 3

Letra b) Frequências de meia potencia

A largura de banda tem relação direta com as frequências de meia potencia

Esta pode ser encontrada por

B = R L = 2 ⋅ 10 3 0,1 = 20   k   r a d / s  

E ainda por

B = ω 2 - ω 1

Então

ω 1 = ω 2 - B

E

ω 2 = ω 1 + B

Passo 4

Já que a frequência de ressonância é a média entre as frequências de corte

ω 0 = ω 1 + ω 2 2

Então ω 2 é igual a

ω 2 = 2 ω 0 - ω 1

E ω 1

ω 1 =   2 ω 0 - ω 2

Passo 5

Substituindo o passo 3 no passo 4 teremos

ω 1 = ( 2 ω 0 - ω 1 ) - B

Que é igual a

2 ω 1 = 2 ω 0 - B

E portanto

ω 1 = ω 0 - B 2

Substituindo os valores

ω 1 = ( 0,5 ⋅ 10 6 ) - 20   k 2

A frequência de corte inferior é

ω 1 =   490   k   r a d / s

Passo 6

Substituindo o passo 3 no passo 4 teremos

ω 2 = 2 ω 0 - ω 1 + B

Que é igual a

2 ω 2 = 2 ω 0 + B

E portanto

ω 2 = ω 0 + B 2

Substituindo os valores

ω 2 = 0,5 ⋅ 10 6 + 20   k 2

A frequência de corte inferior é

ω 2 =   510   k   r a d / s

Passo 7

Letra c) Fator de qualidade

O fator de qualidade pode ser encontrado pelo quociente entre a frequência central e a largura de banda

Q = ω 0 B

De posse da frequência e da largura de banda

Q = 0,5 ⋅ 10 6 20 ⋅ 10 3

O fator de qualidade é

Q = 25  

Resposta

L e t r a   a )   ω 1 =   490   k   r a d / s

L e t r a   b )   ω 2 =   510   k   r a d / s

L e t r a   c )   Q = 25  

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