Uma partícula de massa m e carga q está ligada a uma mola com constante de força k , pendurada do teto (Figura 11.19). Sua posição de equilíbrio é uma distância h acima do chão. A mola é puxada para baixo até uma distância d abaixo do ponto de equilíbrio e liberada no tempo t = 0 .

(a) Sob os pressupostos normais d ≪ λ ≪ h , calcule a intensidade da radiação que atinge o chão como função da distância R a partir do ponto diretamente abaixo de q . [Observação: a intensidade, aqui, é a potência média por unidade de área do chão.] Em que R a radiação é mais intensa? Despreze o amortecimento radiativo do oscilador. [Resposta: μ 0 q 2 d 2 ω 4 R 2 h / 32 π 2 c R 2 + h 2 5 / 2 ]

(b) Como verificação da sua fórmula, assuma que o chão tem extensão infinita e calcule a energia média por unidade de tempo que atinge todo o chão. É o que você esperava?

(c) Como está perdendo energia na forma de radiação, a amplitude da oscilação irá gradualmente diminuir. Depois de que tempo τ a amplitude foi reduzida a d / e ? (Assuma que a fração de energia total perdida em um ciclo é muito pequena.)

Passo 1

Trata-se de um dipolo elétrico oscilante, com amplitude p 0 = q d e frequência ω = k / m . O vetor de Poynting (médio) é dado pela Equação 11.21:

S = μ 0 p 0 2 ω 4 32 π 2 c sin 2 ⁡ θ r 2 r ^

de modo que a potência por unidade área do piso é

I f = S ∙ z ^ = μ 0 p 0 2 ω 4 32 π 2 c sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ r 2

Mas sin ⁡ θ = R / r , cos ⁡ θ = h / r , e r 2 = R 2 + h 2

= μ 0 q 2 d 2 ω 4 32 π 2 c R 2 h R 2 + h 2 5 / 2

d I f d R = 0 ⇒ d d R R 2 R 2 + h 2 5 / 2 = 0

⇒ 2 R R 2 + h 2 5 / 2 - 5 2 R 2 R 2 + h 2 7 2 2 R = 0 ⇒

R 2 + h 2 - 5 2 R 2 = 0 ⇒ h 2 = 3 2 R 2

⇒ R = 2 / 3 h

Para a máxima intensidade.

Passo 2

(b)

P = ∫ I f R d a = ∫ I f R 2 π R d R

= 2 π μ 0 q d 2 ω 4 32 π 2 c h ∫ 0 ∞ R 3 R 2 + h 2 5 / 2 d R

Fazendo x ≡ R 2 :

∫ 0 ∞ R 3 R 2 + h 2 5 / 2 d R = 1 2 ∫ 0 ∞ x x + h 2 5 / 2 d x = 1 2 h Γ 2 Γ 1 / 2 Γ 5 / 2 = 2 3 h

= 2 π μ 0 q 2 d 2 ω 4 32 π 2 c h 2 3 h = μ 0 q 2 d 2 ω 4 24 π c

que deve ser (e é) metade do poder total irradiado (Equações 11.22) - o resto atinge o teto, é claro.

Passo 3

(c) A amplitude é x 0 ( t ) , então U = 1 2 k x 0 2 é a energia, no tempo t , e d U / d t = - 2 P é a energia radiada:

1 2 k d d t x 0 2 = - μ 0 ω 4 12 π c q 2 x 0 2

⇒ d d t x 0 2 = - μ 0 ω 4 q 2 6 π k c x 0 2 = - k x 0 2 ⇒ x 0 2 = d 2 e - k t

ou

x 0 t = d e - k t / 2

τ = 2 k = 12 π k c μ 0 q 2 k 2 m 2 = 12 π c m 2 μ 0 q 2 k

Resposta

Ver passo 1, 2 e 3.