Permute os Rs e Cs no circuito da Figura P15.48; isto é, substitua R 1 por C 1 , R 2 por C 2 , R 3 por C 3 , C 1 por R 1 e C 2 por R 2

a) Descreva o tipo de filtro implementado como resultado da permuta.

b) Confirme o tipo de filtro descrito em (a) deduzindo sua função de transferência V d / V i . Escreva a função de transferència na forma que a torne compativel com a Tabela 15.1.

c) Faça C 2 = C 3 = 1 F e calcule as expressões para C 1 , R 1 e R 2 em termos de K , b 1 e b e . (Veja o Problema 15.48 para a definição de b 1 e b σ ∘

d) Suponha que o filtro descrito em (a) seja usado no mesmo tipo de filtro Butterworth de terceira ordem que tem um ganho na faixa de passagem de 8. Com C 2 = C 3 = 1   F , calcule os valores de C 1 , R 1 e R 2 na seção de segunda ordem do filtro.

Passo 1

Para frequências muito pequenas, os capacitores se comportam como circuitos abertos e, portanto, v0 é zero. À medida que a frequência aumenta, as impedâncias capacitivas do ramo tornam-se pequenas em comparação com os ramos resistivos. Quando isso acontece que o circuito se torna um amplificador inversor com o capacitor C 2 dominando o caminho de realimentação. Assim, o ganho do amplificador se aproxima de 1 / j ω C 2 / 1 / j ω C 1 ou C 1 / C 2 . Portanto, o circuito se comporta como um filtro passa-altas com ganho de banda passante de C 1 / C 2 .

[a] Por hipótese, o circuito se torna:

Passo 2

[b] Somando as correntes longe do terminal superior de R 2   rende

V a G 2 + V a - V i s C 1 + V a - V o s C 2 + V a s C 3 = 0

ou

V a G 2 + s C 1 + C 2 + C 3 - V o s C 2 = s C 1 V i

A soma das correntes do terminal de entrada inversora fornece

0 - V a s C 3 + 0 - V o G 1 = 0

ou

s C 3 V a = - G 1 V o ;   V a = - G 1 V o s C 3

Portanto podemos escrever

- G 1 V o s C 3 G 2 + s C 1 + C 2 + C 3 - s C 2 V o = s C 1 V i

Resolvendo para   V o / V i

H ( s ) = V o V i = - C 1 C 3 s 2 C 2 C 3 s 2 + G 1 C 1 + C 2 + C 3 s + G 1 G 2

= - C 1 C 2 s 2 s 2 + G 1 C 2 C 3 C 1 + C 2 + C 3 s + G 1 G 2 C 2 C 3 = - K s 2 s 2 + b 1 s + b o

Portanto, o circuito implementa um filtro passa-altas de segunda ordem com ganho de banda passante de C 1 / C 2 .

Passo 3

[c]  C 1 = K  :

b 1 = G 1 ( 1 ) ( 1 ) ( K + 2 ) = G 1 ( K + 2 ) ∴   G 1 = b 1 K + 2 ;   R 1 = K + 2 b 1 b o = G 1 G 2 ( 1 ) ( 1 ) = G 1 G 2 ∴   G 2 = b o G 1 = b o b 1 ( K + 2 ) ∴   R 2 = b 1 b o ( K + 2 )

Passo 4

[d] Da Tabela 15.1, a função de transferência da seção de segunda ordem de um filtro Butterworth passa-alta de terceira ordem é

H ( s ) = K s 2 s 2 + s + 1

Portanto b 1 = b o = 1 Então

C 1 = K = 8   F R 1 = 8 + 2 1 = 10 Ω R 2 = 1 1 ( 8 + 2 ) = 0.10 Ω

Resposta

a. Portanto, o circuito se comporta como um filtro passa-altas com ganho de banda passante de C 1 / C 2 .

b. Portanto, o circuito implementa um filtro passa-altas de segunda ordem com ganho de banda passante de C 1 / C 2 .

c. R 2 = b 1 b o ( K + 2 )

d. 0.10 Ω