Permute os Rs e Cs no circuito da Figura P15.53, isto é, substitua R 1 por C 1 , R 2 por C 2 e vice-versa.

a) Analise o circuito do ponto de vista qualitativo e preveja o tipo de filtro implementado pelo circuito.

b) Verifique a conclusão a que chegou em (a) deduzindo a função de transferência V / V e . Escreva a função de transferência de uma forma que a torne compatível com a Tabela 15.1.

c) Quantas escolhas livres há na seleção dos componentes do circuito?

d) Determine R 1 e R 2 em função de b 0 , b 1 , C 1 e C 2 .

e) Há alguma restrição para C 1 e C 2 ?

f) Suponha que o circuito seja usado em um filtro Butterworth passa-baixas de terceira ordem do tipo determinado em (a). Especifique os valores de R 1 e R 2 na seçāo de segunda ordem do filtro protótipo se C 1 = C 2 = 1   F .

Passo 1

[a] A troca de R s e C s resulta no seguinte circuito.

Em baixas frequências, os capacitores aparecem como circuitos abertos e, portanto, a tensão de saída é zero. À medida que a frequência aumenta, as ramificações do capacitor aproximam-se dos curtos-circuitos e v a = v i = v 0 . Assim, o circuito é um filtro passa-alta de ganho unitário.

Passo 2

[b] As equações do domínio s são

V a - V i s C 1 + V a - V o G 1 = 0 V o - V a s C 2 + V o G 2 = 0

Segue que

V a G 1 + s C 1 - G 1 V o = s C 1 V i

E   V a = G 2 + s C 2 V o s C 2

Por isso

G 2 + s C 2 s C 2 G 1 + s C 1 - G 1 V o = s C 1 V i V o s 2 C 1 C 2 + s C 1 G 2 + G 1 G 2 = s 2 C 1 C 2 V i

H ( s ) = V o V i = s 2 s 2 + G 2 C 2 s + G 1 G 2 C 1 C 2

= V o V i = s 2 s 2 + b 1 s + b o

Passo 3

[c] Existem 4 componentes do circuito:   R 1 , R 2 , C 1 . Existem duas restrições de função de transferência:   b 1 e b o . Portanto, há duas escolhas livres.

Passo 4

[ d ] b o = G 1 G 2 C 1 C 2 ;   b 1 = G 2 C 2

∴ G 2 = b 1 C 2 ;   R 2 = 1 b 1 C 2 G 1 = b o b 1 C 1 ∴ R 1 = b 1 b o C 1

Passo 5

[e] Não, todos os capacitores realizáveis ​​produzirão resistores realizáveis.

Passo 6

[f] A seção de segunda ordem em um filtro passa-alta Butterworth de 3ª ordem é

s 2 / s 2 + s + 1 . Portanto b o = b 1 = 1 e R 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) = 1 Ω R 2 = 1 ( 1 ) ( 1 ) = 1 Ω

Resposta

a. o circuito é um filtro passa-alta de ganho unitário.

b. s 2 s 2 + b 1 s + b o

c. há duas escolhas livres.

d. R 1 = b 1 b o C 1

e. Não, todos os capacitores realizáveis ​​produzirão resistores realizáveis.

f. 1 Ω