Problema 5.61 Por uma haste fina de vidro de raio Re comprimento L passa uma corrente de densidade superficial uniforme a. Ela é posta para girar em torno do próprio eixo a uma velocidade angular ω . Encontre o campo magnético à distância s>> R a partir do centro da haste (Figura 5.66). [Dica: trate-a como uma pilha de dipolos magnéticos. ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Para um dipolo na origem e um ponto no plano xz, temos:

B = μ 0   4 π m r 2 2 c o s θ r ^ + s i n θ θ ^ = μ 0 4 π m r 3 [ 2 c o s θ s i n θ x ^ + c o s θ z ^ + s i n θ ( c o s θ x ^ - s i n θ z ^ ) ]

Melhorando a expressão acima, temos que:

B = μ 0 4 π m r 3 [ 3 s i n θ c o s θ z ^ + ( 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ z ^ ) ]

Passo 2

Aqui temos uma pilha de vários dipolos, partindo de z = - L 2   p a r a   z = + L 2 ,   colocando o ponto do campo em s no eixo x. A componente x é cancelada, assim:

B = μ 0 4 π   2 M z ^ ∫ 0 L 2 3 cos 2 ⁡ θ - 1 r 3 d z

Onde M   é o momento de dipolo por unidade de comprimento:

m = I π R 2 = σ v h π R 2 = σ ω R π R 2 h

Voltando para M , temos que:

M = m h = π σ ω R 3

como s i n θ = s r ,   assim 1 r 3 = sin 3 ⁡ θ s 3 ; z = - s c o t θ → d z = s sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, temos:

B = μ 0 4 π   π σ ω R 3 z ^ ∫ π 2 θ m 3 cos 2 ⁡ θ - 1 sin 3 ⁡ θ s 3 s sin 2 ⁡ θ d θ = μ 0 σ ω R 3 2 s 2 z ^ ∫ π 2 θ 3 cos 2 ⁡ θ - 1 s i n θ d θ  

Melhorando a expressão acima, temos que:

B = μ 0 σ ω R 3 2 s 2 z ^ - cos 3 ⁡ θ + c o s θ π 2 θ m =   μ 0 σ ω R 3 2 s 2 c o s θ m 1 - cos 2 ⁡ θ m z ^ = μ 0 σ ω R 3 2 s 2 c o s θ m sin 2 ⁡ θ m z ^    

Mas como temos que θ m = s s 2 + L 2 2 ,   e c o s θ m = - L 2 s 2 + L 2 2 , com isto, temos:

B = - μ 0 σ ω R 3 L 4 s 2 + L 2 2 3 / 2  

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

B = - μ 0 σ ω R 3 L 4 s 2 + L 2 2 3 / 2