No problema 6.4 você calculou a força de um dipolo através da ‘força bruta’. Eis uma abordagem mais elegante. Primeiro expresse B(r) como uma expansão de Taylor em torno do centro da espira:

B r ≅ b r 0 + r - r 0 ∙ ∇ 0 B r 0 ,

Onde r 0 é a posição do dipolo e ∇ 0 denota diferenciação com relação a r 0 . Coloque isso na lei de força de Lorentz (Equação 5.16) para obter

F = I ∮ d l × r ∙ ∇ 0 B r 0 .

Ou numerando as coordenadas cartesianas de 1 a 3:

F i = I ∑ j , k , l = 1 3 ϵ i j k   ∮ r l d l j   [ ∇ 0 t B k ( r 0 ) ]

Onde ϵ i j k   é o símbolo de Levi-Civita (+1 se ijk=123,231 ou 312; -1 se ijk=132, 213 ou 321; caso contrário, 0), em termos do cal o produto vetorial pode ser expresso A × B i = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k   A j B k . Use a equação 1.108 para calcular a integral. Observe que

∑ j = 1 3 ϵ i j k   ϵ l j m = δ i l δ k m - δ i m δ k l ,  

Onde δ i j é delta de K r o n e c k e r (Problema 3.45).

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Espero que sim! Bora para mais uma !?Primeiramente vamos partir da equação (5.16) e substituindo a expressão de B(r), temos que:

F = I ∮ d l × B =

=   I ∮ d l × B 0 + I ∮ d l × r ∙ ∇ 0 B 0 - ∮ d l × r 0 ∙ ∇ 0 B 0

Como ∮ d l = 0 nos termos acima, sobrando apenas o termo do meio, assim temos:

F = I ∮ d l × r ∙ ∇ 0 B 0

Associando cada coordenada cartesiana de 1 a 3, podemos reescrever a expressão obtida acima em termos do símbolo de Levi-Civita no qual o produto vetorial é expresso como A × B i = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k   A j B k , onde na nossa expressão teremos:

d l × B 0 = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k   d l j B 0 k  

Também temos que:

r ∙ ∇ 0 = ∑ l r l ∇ 0 l

Passo 2

Agora que conseguimos expressar todos os termos, podemos começar a representação da expressão para F, sendo assim temos:

F i = I ∑ j , k , l ϵ i j k ∮ r l d l j ∇ 0 t B 0 k  

Pela equação (1.108) temos que:

∮ c ∙ r d l = a × c = - c × a .

Quando pegamos a j-esima componente, temos que:

∑ p ∮ c p r p d l j = - ∑ p , m ϵ j p m c p a m  

Porem escolhemos c p = δ p l . Assim temos:

∮ r l d l j = - ∑ m ϵ j l m a m = ∑ m ϵ l j m a m  

Substituindo a expressão acima na solução para F i ,   temos:

F i = I ∑ j , k , l ϵ i j k ∑ m ϵ l j m a m   ∇ 0 t B 0 k  

=   I ∑ j , k , l ϵ i j k ϵ l j m a m ∇ 0 t B 0 k  

Passo 3

Por fim, temos que:

∑ j = 1 3 ϵ i j k   ϵ l j m = δ i l δ k m - δ i m δ k l ,  

Assim reescrevendo a expressão de   F i , temos que:

F i =   I ∑ j , k , l ( δ i l δ k m - δ i m δ k l ) a m ∇ 0 t B 0 k  

Vamos analisar o termo de dentro dos parênteses, se i=l e k=m, o primeiro termo será igual a 1 e o segundo será nulo, mas se i=m e k=l, o primeiro termo será nulo e o segundo igual a 1. Sendo assim temos que:

F i =   I ∑ k a k ∇ 0 i B 0 k - a i ∇ 0 t B 0 k  

Por último:

F i = I [ ∇ 0 i a ∙ B 0 - a i ( ∇ 0   ∙ B 0 ) ]

Mas temos que ∇ 0   ∙ B 0 = 0 e que m = I a , com isso temos que:

F = ∇ 0 ( m ∙ B 0 )

Resposta

Demonstração realizada acima.