No problema 6.4 você calculou a força de um dipolo através da ‘força bruta’. Eis uma abordagem mais elegante. Primeiro expresse B(r) como uma expansão de Taylor em torno do centro da espira:
Onde é a posição do dipolo e denota diferenciação com relação a . Coloque isso na lei de força de Lorentz (Equação 5.16) para obter
Ou numerando as coordenadas cartesianas de 1 a 3:
Onde é o símbolo de Levi-Civita (+1 se ijk=123,231 ou 312; -1 se ijk=132, 213 ou 321; caso contrário, 0), em termos do cal o produto vetorial pode ser expresso Use a equação 1.108 para calcular a integral. Observe que
Onde é delta de (Problema 3.45).
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem? Espero que sim! Bora para mais uma !?Primeiramente vamos partir da equação (5.16) e substituindo a expressão de B(r), temos que:
Como nos termos acima, sobrando apenas o termo do meio, assim temos:
Associando cada coordenada cartesiana de 1 a 3, podemos reescrever a expressão obtida acima em termos do símbolo de Levi-Civita no qual o produto vetorial é expresso como , onde na nossa expressão teremos:
Também temos que:
Passo 2
Agora que conseguimos expressar todos os termos, podemos começar a representação da expressão para F, sendo assim temos:
Pela equação (1.108) temos que:
Quando pegamos a j-esima componente, temos que:
Porem escolhemos . Assim temos:
Substituindo a expressão acima na solução para temos:
Passo 3
Por fim, temos que:
Assim reescrevendo a expressão de , temos que:
Vamos analisar o termo de dentro dos parênteses, se i=l e k=m, o primeiro termo será igual a 1 e o segundo será nulo, mas se i=m e k=l, o primeiro termo será nulo e o segundo igual a 1. Sendo assim temos que:
Por último:
Mas temos que e que , com isso temos que:
Resposta
Demonstração realizada acima.