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Enunciado

Elétrica - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 57

  1. Prove que o campo magnético médio, sobre uma esfera de raio R, devido às correntes estacionarias internas à esfera, é

    2. B m e d = μ 0 4 π 2 m R 3

    Onde m é o momento de dipolo total da esfera. Compare ao resultado eletrostático. Equação 3.105.

  2. Mostre que o campo magnético médio devido a correntes estacionarias externas à esfera é o mesmo que o campo que elas produzem no seu centro.

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A, podemos partir de:

B m e d = 1 3 / 4 π R 3 ∫ B d τ = 3 4 π R 3 ∫ ∇ × A d τ

= 3 4 π R 3 ∮ A × d a = - 3 4 π R 3 μ 0 4 π ∮ ∫ J r d τ ' × d a

Reescrevendo a expressão acima, temos que:

B m e d = - 3 μ 0 4 π 2 R 3 ∫ J × ∮ 1 r d a d τ '

Passo 2

Como temos que r = R 2 + z ' 2 - 2 R ' c o s θ e que d a = R 2 s i n θ d θ d ϕ r ^ , com isso e com a simetria em relação que faz que integrando em x e y resulte em zero sobrando apenas z que para r ^   resulta em c o s θ ,   com isso temos que:

∮ 1 r   d a = z ^ ∫ c o s θ R 2 + z ' 2 - 2 R ' c o s θ   R 2 s i n θ d θ d ϕ = 2 π R 2 z ^ ∫ 0 π c o s θ s i n θ R 2 + z ' 2 - 2 R ' c o s θ d θ

Substituindo: u = c o s θ , assim d u = - s i n θ d θ , ou seja

= 2 π R 2 z ^ ∫ - 1 1 u R 2 + z ' 2 - 2 R ' u d u

= 2 π R 2 z ^ 2 R 2 + z ' 2 - 2 R ' u 3 2 R z ' 2 R 2 + z ' 2 - 2 R ' u - 1 1

Substituindo os limites de integração e reescrevendo a expressão, temos que:

= 4 π 3 z ' z ^ = 4 π 3 r ' ,   s e   r ' < R 4 π R 3 3 z ' 2 z ^ = 4 π 3 R 3 r ' 3 r ' ,   p a r a   r ' > R

Agora temos que quando r ' < R ,  

B m e d = 3 μ 0 4 π 2 R 3   4 π 3 ∫ ( J × r ' ) d τ ' = - μ 0 4 π R 3 ∫ J × r ' d τ '

Agora com m = 1 2 ∫ r × J d τ ,   c h e g a m o s   e m   B m e d = μ 0 4 π 2 m R 3

Passo 3

Quando r ' > R , temos:

B m e d = - 3 μ 0 4 π 2 R 3 4 π 3 R 3 ∫ J × r ' r ' 3 = μ 0 4 π ∫ J × r ^ r 2 d τ '

Onde r   vai do ponto de origem ao centro , com isso temos que B m e d - B c e n .

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima pessoal!

Resposta

Deduções nos passos acima