Prove que o campo é univocamente determinado quando a densidade de carga é a dada e a derivada normal é especificada em cada superfície de contorno. Não assuma que os contornos são condutores, ou que é constante sobre qualquer superfície dada.
Passo 1
Faala, galera! Bora pra cima dessa. Aqui, podemos lembrar do segundo teorema da unicidade partindo dele, supondo que existem dois campos (dois condutores) e ambos obedecem à lei de Gauss na forma diferencial no espaço entre os condutores, vamos ter:
E os dois campos obedecem a lei de Gauss na forma integral para uma superfície gaussiana que encerra cada condutor:
Da mesma forma, no caso de um contorno externo (imediatamente interno a um condutor circundante ou que esteja no infinito):
A diferença de potencial entre os campos é:
Que obedece a seguinte equação:
Na região entre os condutores, teremos:
Passo 2
Agora, sabendo que cada condutor é um equipotencial, será constante sobre cada superfície condutora. A partir daqui vamos ter uma pequena diferença da prova do segundo teorema da unicidade, já que vamos ter o potencial constante sobre qualquer superfície dada, ou seja, se for especificado, vamos ter que:
Ou, caso , teremos:
E portanto, da relação:
Para as duas situações acima, vamos ter que:
Logo a diferença de potencial, será dada por:
Portanto:
E aqui finalizamos a questão, galera!! Até a próxima😊