Prove que o campo é univocamente determinado quando a densidade de carga ρ é a dada e o u   V   o u a derivada normal ∂ V ∂ n é especificada em cada superfície de contorno. Não assuma que os contornos são condutores, ou que V é constante sobre qualquer superfície dada.

Passo 1

Faala, galera! Bora pra cima dessa. Aqui, podemos lembrar do segundo teorema da unicidade partindo dele, supondo que existem dois campos (dois condutores) e ambos obedecem à lei de Gauss na forma diferencial no espaço entre os condutores, vamos ter:

∇   .   E 1 = 1 ϵ 0 ρ ,                               ∇   .   E 2 = 1 ϵ 0 ρ  

E os dois campos obedecem a lei de Gauss na forma integral para uma superfície gaussiana que encerra cada condutor:

∮ E 1   .   d a = 1 ϵ 0 Q i ,                           ∮ E 2   .   d a = 1 ϵ 0 Q i .

Da mesma forma, no caso de um contorno externo (imediatamente interno a um condutor circundante ou que esteja no infinito):

∮ E 1   .   d a = 1 ϵ 0 Q t o t a l ,                           ∮ E 2   .   d a = 1 ϵ 0 Q t o t a l .

A diferença de potencial entre os campos é:

E 3 = E 1 - E 2

Que obedece a seguinte equação:

∇   .   E 3 = 0

Na região entre os condutores, teremos:

∮ E 3   .   d a = 0

Passo 2

Agora, sabendo que cada condutor é um equipotencial, V 3 será constante sobre cada superfície condutora. A partir daqui vamos ter uma pequena diferença da prova do segundo teorema da unicidade, já que vamos ter o potencial V constante sobre qualquer superfície dada, ou seja, se V for especificado, vamos ter que:

V 3 = 0

Ou, caso ∂ V ∂ n =   - E   ⊥ , teremos:

E 3 ⊥

E portanto, da relação:

∮ S V 3 E 3   .   d a = - ∮ V E 3 2   d τ  

Para as duas situações acima, vamos ter que:

∮ V E 3 2   d τ = 0

Logo a diferença de potencial, será dada por:

0 = E 1 - E 2

Portanto:

E 1 = E 2

E aqui finalizamos a questão, galera!! Até a próxima😊

Resposta

E 1 = E 2