Enunciado

Prove que o divergente de um rotacional é sempre zero. Verifique para a função v a no problema 1.15.

Passo 1

Fala galera! Vamos lembrar que o rotacional se dá por:

∇ × f x ,   y ,   z = x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f x f y f z = x ^ ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z + y ^ ∂ f x ∂ z - ∂ f z ∂ x + z ^ ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y

E o divergente é dado por:

∇ ∙ f x ,   y ,   z = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ∙ f x x ^ + f y y ^ + f z z ^ = ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z

Passo 2

Então, o divergente de um rotacional será:

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ∙ x ^ ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z + y ^ ∂ f x ∂ z - ∂ f z ∂ x + z ^ ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = ∂ ∂ x ∂ f z ∂ y - ∂ f y ∂ z + ∂ ∂ y ∂ f x ∂ z - ∂ f z ∂ x + ∂ ∂ z ∂ f y ∂ x - ∂ f x ∂ y

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = ∂ 2 f z ∂ y ∂ x - ∂ 2 f y ∂ z ∂ x + ∂ 2 f x ∂ z ∂ y - ∂ 2 f z ∂ x ∂ y + ∂ 2 f y ∂ x ∂ z - ∂ 2 f x ∂ y ∂ z

Vamos lembrar que a ordem de derivação, indicada nos denominadores, não faz diferença. Então teremos:

∂ 2 f z ∂ y ∂ x = ∂ 2 f z ∂ x ∂ y

∂ 2 f y ∂ x ∂ z = ∂ 2 f y ∂ z ∂ x

∂ 2 f x ∂ z ∂ y = ∂ 2 f x ∂ y ∂ z

Logo:

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = ∂ 2 f z ∂ x ∂ y - ∂ 2 f y ∂ z ∂ x + ∂ 2 f x ∂ y ∂ z - ∂ 2 f z ∂ x ∂ y + ∂ 2 f y ∂ z ∂ x - ∂ 2 f x ∂ y ∂ z

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = ∂ 2 f z ∂ x ∂ y - ∂ 2 f z ∂ x ∂ y + ∂ 2 f y ∂ z ∂ x - ∂ 2 f y ∂ z ∂ x + ∂ 2 f x ∂ y ∂ z - ∂ 2 f x ∂ y ∂ z

Então, todos os termos se anulam.

∇ ∙ ∇ × f x ,   y ,   z = 0

Passo 3

Vamos demonstrar para v a :

v a = x 2 x ^ + 3 x z 2   y ^ - 2 x z z ^

Teremos:

∇ × v a = x ^ ∂ v a z ∂ y - ∂ v a y ∂ z + y ^ ∂ v a x ∂ z - ∂ v a z ∂ x + z ^ ∂ v a y ∂ x - ∂ v a x ∂ y

∇ × v a = x ^ ∂ ( - 2 x z ) ∂ y - ∂ ( 3 x z 2 ) ∂ z + y ^ ∂ ( x 2 ) ∂ z - ∂ ( - 2 x z ) ∂ x + z ^ ∂ ( 3 x z 2 ) ∂ x - ∂ ( x 2 ) ∂ y

∇ × v a = x ^ 0 - 6 x z + y ^ 0 - ( - 2 z ) + z ^ 3 z 2 - 0

∇ × v a = x ^ - 6 x z + y ^ 2 z + z ^ 3 z 2

Agora, encontrando o divergente desse rotacional teremos:

∇ ∙ ∇ × v a = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ∙ v a x x ^ + v a y y ^ + v a z z ^

∇ ∙ ∇ × v a = ∂ ∂ x - 6 x z + ∂ ∂ y 2 z + ∂ ∂ z 3 z 2

∇ ∙ ∇ × v a = - 6 z + 0 + 6 z

∇ ∙ ∇ × v a = 0

Resposta

Pronto, provamos e comprovamos que o divergente de um rotacional será sempre igual a zero. Ficou com alguma dúvida? Manda pra gente!