(a) Prove que a matriz de rotação bidimensional (1.29) preserva produtos escalares. (Ou seja, mostre que A y -   B y - + A z -   B z - = A y B y + A z B z )

(b) Que restrições os elementos ( R i j ) da matriz de rotação tridimensional (1.30) devem satisfazer a fim de preservar o comprimento de A (para todos os vetores A )?

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Começaremos utilizando a interpretação geométrica para resolver A y -   B y - + A z -   B z - :

A y -   B y - + A z -   B z - = ( cos ⁡ Φ A y + sin ⁡ Φ A z ) × ( cos ⁡ Φ B y + sin ⁡ Φ B z ) + ( - sin ⁡ Φ A y + cos ⁡ Φ A z ) × ( - sin ⁡ Φ B y + cos ⁡ Φ B z )

Desenvolvendo:

= c o s 2 Φ A y B y + s i n Φ c o s Φ A y B z + A z B y + s i n 2 Φ A z B z + s i n 2 Φ A y B y - sin ⁡ Φ cos ⁡ Φ A y B z + A z B y + c o s   2 Φ A z B z

Passo 2

Continuando o desenvolvimento:

= ( c o s 2 Φ + s i n 2 Φ ) A y B y + ( s i n 2 Φ + c o s 2 Φ ) A z B z

E, por fim:

= A y B y + A z B z

Portanto, prova-se o enunciado.

Passo 3

Agora, para o enunciado (b), começaremos testando todos os potenciais valores do vetor A :

A x - 2 + A y - 2 + A z - 2 = ∑ i = 1 3 A i -   A i - = ∑ i = 1 3 ( ∑ j = 1 3 R i j A j ) ( ∑ k = 1 3 R i k A k )

= ∑ j ,   k ( ∑ i R i j R i k ) A j A k

Essa solução é igual a A x 2 + A y 2 + A z 2 e nos define: ∑ i = 1 3 R i j R i k = 1   i f   j = k 0   i f   j ≠ k

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) ( c o s 2 Φ + s i n 2 Φ ) A y B y + s i n 2 Φ + c o s 2 Φ A z B z = A y B y + A z B z , como gostaríamos demonstrar.

(b) Condição: ∑ i = 1 3 R i j R i k = 1   i f   j = k 0   i f   j ≠ k . Se R deve preservar o comprimento para todos os vetores A , então essa condição não é só suficiente, mas é necessário. Em notação de matriz: R - R = 1 , onde R - é a matriz transposta de R .