(a) Prove que a matriz de rotação bidimensional (1.29) preserva produtos escalares. (Ou seja, mostre que )
(b) Que restrições os elementos () da matriz de rotação tridimensional (1.30) devem satisfazer a fim de preservar o comprimento de (para todos os vetores )?
Passo 1
Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?
Começaremos utilizando a interpretação geométrica para resolver :
Desenvolvendo:
Passo 2
Continuando o desenvolvimento:
E, por fim:
Portanto, prova-se o enunciado.
Passo 3
Agora, para o enunciado (b), começaremos testando todos os potenciais valores do vetor :
Essa solução é igual a e nos define:
Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?
Resposta
(a) , como gostaríamos demonstrar.
(b) Condição: . Se R deve preservar o comprimento para todos os vetores , então essa condição não é só suficiente, mas é necessário. Em notação de matriz: , onde é a matriz transposta de .