Prove o seguinte teorema de unicidade: se a densidade de corrente J é especificada em todo o volume V, e o potencial A ou o campo magnético B é especificado na superfície S que encerra V, então o campo magnético em si é univocamente determinado em todo V. [Dica: primeiro use o teorema do divergente para mostrar que

∫ ∇ × U ∙ ∇ × V - U × ∇ × ∇ × V d τ = ∮ U × ∇ × V ∙ d a ,

para as funções vetoriais arbitrárias U e V.]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Primeiramente podemos aplicar o teorema da divergência para a função U × ∇ × V ,   observando a seguinte relação:

∇ ∙ U × ∇ × V = ∇ × V ∙ ∇ × U - U ∙ [ ∇ × ( ∇ × V ) ]

Assim temos que:

∫ ∇ ∙ U × ∇ × V d τ = ∫ ∇ × U ∙ ∇ × V - U × ∇ × ∇ × V d τ = ∮ U × ∇ × V ∙ d a ,

Passo 2

Agora vamos supor que nós temos duas soluções, B 1 (e   A 1 ) e B 2 (e   A 2 ). Vamos definir então B 3 = B 2 - B 1 (e A 3 = A 2 - A 1 ). Desta maneira, temos:

∇ × A 3 = B 3

∇ × B 3 = ∇ × B 1 - ∇ × B 2 = μ 0 J - μ 0 J = 0

Assim definimos U = V = A 3 e trocamos na identidade acima, assim temos:

∫ ∇ × A 3 ∙ ∇ × A 3 - A 3 × ∇ × ∇ × A 3 d τ = ∫ B 3 ∙ B 3 - A 3 ∙ ∇ × B 3 d τ

= ∫ B 3 d τ = ∮ A 3 × ∇ × A 3 ∙ d a = ∮ A 3 × B 3 ∙ d a

Mas todo A é especificado ou todo B é especificado para a superfície. Em todo caso ∮ A 3 × B 3 ∙ d a = 0 . Assim ∫ B 3 d τ = 0 e então B 1 = B 2 .

Assim finalizamos esta questão! Até a próxima !

Resposta

Dedução nos passos anteriores!