Prove o seguinte teorema de unicidade: um volume contém uma distribuição de carga livre especificada e vários pedaços de material dielétrico linear, sendo a suscetibilidade de cada um deles dada. Se o potencial for especificado nos contornos de ( no infinito seria adequado), então o potencial em inteiro será univocamente determinado. [Dica: integre sobre ].
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Como é comum com os teoremas de unicidade, suponha que existam dois potenciais que resolvem as equações de Poisson e as condições de contorno dadas. Em seguida, vamos definir o potencial:
Observe que nas fronteiras o potencial , uma vez que o potencial é especificado neles.
Passo 2
Integrando a quantidade sobre o volume, onde:
Logo, nós temos que
Em todo o volume, uma vez que a distribuição de carga livre é especificada.
No entanto, , e usamos o teorema da divergência para transformar o volume em integral de superfície:
é zero na fronteira da superfície, então a integral da esquerda é obviamente zero, portanto, temos que e o dielétrico é linear, então, :
Passo 3
Finalmente é uma quantidade positiva, assim como , então o integrando tem que ser zero, o que significa que:
Logo,
Esta constante é zero, uma vez que os potenciais têm que ser iguais nas fronteiras. Portanto,