Prove o seguinte teorema de unicidade: um volume V contém uma distribuição de carga livre especificada e vários pedaços de material dielétrico linear, sendo a suscetibilidade de cada um deles dada. Se o potencial for especificado nos contornos S de V ( V = 0 no infinito seria adequado), então o potencial em V inteiro será univocamente determinado. [Dica: integre ∇ ∙ ( V 3 D 3 ) sobre V ].

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como é comum com os teoremas de unicidade, suponha que existam dois potenciais que resolvem as equações de Poisson ∇ 2 V = - ρ ϵ 0 e as condições de contorno dadas. Em seguida, vamos definir o potencial:

V 3 = V 2 - V 1

Observe que nas fronteiras o potencial V 3 = 0 , uma vez que o potencial é especificado neles.

Passo 2

Integrando a quantidade ∇ ∙ V 3 D 3 → sobre o volume, onde:

D 3 → = D 2 → - D 1 →

Logo, nós temos que

∇ ∙ D 1 → = ∇ ∙ D 2 → = ρ f ;     ∇ ∙ D 3 → = 0

Em todo o volume, uma vez que a distribuição de carga livre é especificada.

∫ ∇ ∙ V 3 D 3 →   d V = ∫ D 3 → ∙ ∇ V 3   d V + ∫ ∇ ∙ D 3 → V 3   d V

No entanto, ∇ ∙ D 3 → = 0 , e usamos o teorema da divergência para transformar o volume em integral de superfície:

∫ V 3 D 3 → ∙ d S → = ∫ D 3 → ∙ ∇ V 3   d V

V 3 é zero na fronteira da superfície, então a integral da esquerda é obviamente zero, portanto, temos que ∇ V 3 = - E 3 → e o dielétrico é linear, então, D 3 → = ϵ E 3 → :

∫ ϵ E 3 → 2   d V = 0

Passo 3

Finalmente ϵ é uma quantidade positiva, assim como E 3 → 2 , então o integrando tem que ser zero, o que significa que:

E 3 → = 0 → E 1 → = E 2 →

Logo,

V 1 = V 2 + C

Esta constante é zero, uma vez que os potenciais têm que ser iguais nas fronteiras. Portanto,

V 1 = V 2

Resposta

V 1 = V 2