Prove o teorema de Alfven: em um fluido perfeitamente condutor (digamos, um gás com elétrons livres), o fluxo magnético através de qualquer espira fechada que se move dentro do fluido é constante no tempo. (As linhas do campo magnético ficam, por assim dizer, ‘congeladas’ no fluido.)
(a) Use a lei de Ohm, na forma da Equação 7.2, juntamente com a lei de Faraday, para provar que e é infinito, então:
(b) Considere a superfície encerrada pela espira () no tempo e uma superfície encerrada pela espira em sua nova posição () no tempo (veja a Figura 7.56). A mudança de fluxo é
Mostre que
(onde é a ‘faixa’ que une e ), e, portanto, que
(para infinitesimal). Use o método da Seção 7.1.3 para reescrever a segunda integral como
E recorra ao teorema de Stokes para concluir que
Juntamente como resultado em (a), isso prova o teorema.
Passo 1
Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, precisamos provar os teoremas que o enunciado nos diz, o que significa que temos que manipular algebricamente as equações encontrar os resultados pedidos. Então, bora láa!!!
Passo 2
Começando com a segunda equação de Maxwell e usando a Fórmula 7.2 para a densidade de corrente:
Passo 3
Para a letra (b), precisamos provar o seguinte:
Se , todo o fluxo que entra em uma região em um dado momento por um lado deve sair do outro lado, então:
Passo 4
Agora, a integral sobre a superfície .
Onde é a curva de contorno da superfície . Colocando o termo para fora da integral e ignorando , temos:
Passo 5
Por fim, juntando os resultados que encontramos, a mudança do fluxo no material perfeitamente condutor é:
Resposta
Resolução nos passos anteriores.