Prove o teorema de Alfven: em um fluido perfeitamente condutor (digamos, um gás com elétrons livres), o fluxo magnético através de qualquer espira fechada que se move dentro do fluido é constante no tempo. (As linhas do campo magnético ficam, por assim dizer, ‘congeladas’ no fluido.)

(a) Use a lei de Ohm, na forma da Equação 7.2, juntamente com a lei de Faraday, para provar que σ = ∞ e J é infinito, então:

∂ B ∂ t = ∆ × ( v × B )

(b) Considere S a superfície encerrada pela espira ( C ) no tempo t e S ' uma superfície encerrada pela espira em sua nova posição ( C ' ) no tempo t + d t (veja a Figura 7.56). A mudança de fluxo é

d Φ = ∫ S ' B ( t + d t ) ∙ d a - ∫ S B ( t ) ∙ d a

Mostre que

∫ S ' B ( t + d t ) ∙ d a + ∫ R B t + d t ∙ d a = ∫ S B ( t + d t ) ∙ d a

(onde R é a ‘faixa’ que une C e C ' ), e, portanto, que

d Φ = d t ∫ S ∂ B ∂ t ∙ d a - ∫ R B ( t + d t ) ∙ d a

(para d t infinitesimal). Use o método da Seção 7.1.3 para reescrever a segunda integral como

d t ∮ C ( B × v ) ∙ d l

E recorra ao teorema de Stokes para concluir que

d Φ d t = ∫ S ∂ B ∂ t - ∆ × v × B ∙ d a

Juntamente como resultado em (a), isso prova o teorema.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, precisamos provar os teoremas que o enunciado nos diz, o que significa que temos que manipular algebricamente as equações encontrar os resultados pedidos. Então, bora láa!!!

Passo 2

Começando com a segunda equação de Maxwell e usando a Fórmula 7.2 para a densidade de corrente:

∂ B → ∂ t = - ∆ × E → = - ∆ × 1 σ J → - v → × B →

= ∆ × v → × B →

∂ B → ∂ t = ∆ × v → × B →

Passo 3

Para a letra (b), precisamos provar o seguinte:

d Φ = ∫ S ' B ( t + d t ) ∙ d a - ∫ S B ( t ) ∙ d a

Se ∆ ∙ B = 0 , todo o fluxo que entra em uma região em um dado momento por um lado deve sair do outro lado, então:

∫ S B ( t + d t ) ∙ d a = ∫ S ' B ( t + d t ) ∙ d a + ∫ R B t + d t ∙ d a

d Φ = ∫ S ' B ( t + d t ) ∙ d a - ∫ S B t ∙ d a - ∫ R B ( t + d t ) ∙ d a

≈ ∫ S B t + d t ∙ d a - ∫ S B t ∙ d a - ∫ R B ( t + d t ) ∙ d a

d Φ = d t ∫ S ∂ B ∂ t ∙ d a - ∫ R B ( t + d t ) ∙ d a

Passo 4

Agora, a integral sobre a superfície R .

∫ R B ( t + d t ) ∙ d a ≈ ∫ C B → t + ∂ B ∂ t d t ∙ ( v → × d l → ) d t

Onde C é a curva de contorno da superfície S . Colocando o termo d t para fora da integral e ignorando d t 2 , temos:

∫ R B ( t + d t ) ∙ d = d t ∫ C B t ∙ v → × d l → = d t ∮ C ( B × v ) ∙ d l

Passo 5

Por fim, juntando os resultados que encontramos, a mudança do fluxo no material perfeitamente condutor é:

d Φ = d t ∫ S ∂ B ∂ t ∙ d a + d t ∮ C ( B × v ) ∙ d l

d Φ d t = ∫ S ∂ B ∂ t ∙ d a + ∫ S ∆ × ( B × v ) ∙ d a

d Φ d t = ∫ S ∂ B ∂ t - ∆ × v × B ∙ d a

Resposta

Resolução nos passos anteriores.