Quatro partículas (uma de carga q. uma de carga 3 q e duas de carga -   2 q ) estão dispostas como mostra a Figura 3.31. cada uma delas a uma distância a da origem. Encontre uma fórmula simples aproximada para o potencial, válida em pontos distantes da origem. (Expresse sua resposta em coordenadas esféricas.)

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Para iniciarmos nosso problema iremos analisar a imagem abaixo, note que temos 4 cargas de magnitude q 1 = q , q 2 = - 2 q , q 3 = - 2 q e q 4 = 3 q nas posições r 1 = ( 0,0 , - a ) , r 2 = 0 , a , 0 , r 3 = ( 0 , - a , 0 ) e r 4 = ( 0,0 , a ) , respectivamente.

Como a carga total da distribuição é zero, o primeiro termo dominante, se não desaparecer, é o termo dipolo:

V d i p r = 1 4 π ϵ 0 p ∙ r ⏞ r 2  

Tudo certinho, até aqui? Vamos seguir!

Passo 2

Iremos agora calcular o momento dipolo a partir da equação:

p = ∫ r ρ r d r

Onde:

∑ j = 1 4 q j r j

0 , - 2 q a - a ,   3 q a - a q

= 2 q a z ⏞

Com isso a gente pode seguir para nosso último passo!

Passo 3

A partir da equação:

V d i p r = 1 4 π ϵ 0 p ∙ r ⏞ r 2  

As grandes distâncias da origem, o potencial da distribuição dada pode ser aproximado por:

V r = 1 4 π ϵ 0 p ∙ r ⏞ r 2  

= q a 2 π ϵ 0 z ⏞ ∙ r ⏞ r 2  

= q a 2 π ϵ 0 cos ⁡ θ r 2  

Dessa forma, chegamos ao seguinte resultado:

V r = q a 2 π ϵ 0 cos ⁡ θ r 2   p a r a   u m   r ≫ 0 .

Tranquilão? Te vejo na próxima!

Resposta

V r = q a 2 π ϵ 0 cos ⁡ θ r 2   p a r a   u m   r ≫ 0 .