Referring to the circuit of Fig. 9.43:

a) what value of L will result in a transient response of the form v = A e - 4 t + B e - 6 t ?

b) Find A and B if i R ( 0 + ) = 10 A and i C 0 + = 15   A .

Passo 1

Faaala, pessoaaal! Primeiramente, vamos calcular a frequência α do nosso circuito (já que temos os dados necessários):

A frequência de neper α , será dada por:

α = 1 2 R C = 1 2 × 2 × 50 × 10 - 3 = 5   s - 1

A raízes da equação característica, serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2                     ( 1 )

Como queremos uma forma pra tensão no regime transiente com a seguinte forma:

v = A e - 4 t + B e - 6 t

Nossas raízes terão o seguinte valor:

S 1 =   - 4

S 2 =   - 6  

Aplicando os valores de S1, S2 e α em (1):

Teremos que:

S 1 =   - 4 =   - 5 + 25 - ω 0 2

S 2 =   - 6 =   - 5 - 25 - ω 0 2

Resolvendo qualquer uma das equações, encontraremos:

ω 0 = 4.899   r a d / s

E utilizando a fórmula da frequência natural não amortecida ω 0 , podemos calcular o valor do indutor:

ω 0 = 1 L C

Rearranjando a equação, podemos encontrar uma equação para L:

L = 1 ω 0 2 C = 1 4.899 2 × 50 × 10 - 3 = 833.3   m H

Passo 2

b) Agora, teremos que encontrar o valor das constantes A e B se i R 0 + = 10   A e i C 0 + = 15   A . Com essas informações podemos tirar algumas conclusões:

Se i R ( 0 + ) = 10   A , teremos que:

V R 0 + = R × i = 2 × 10 = 20   V  

E como o circuito está em paralelo:

v R 0 + = V 0 + = V C 0 + = 20   V

Com isso, da equação dada no enunciado ( v t = A e - 4 t + B e - 6 t ) , podemos chegar a seguinte relação:

v 0 = A + B = 20

                        A + B = 20                 ( 2 )

E lembrando da fórmula da corrente no capacitor, podemos chegar a seguinte relação:

i C = C d v d t = 50 × 10 - 3 ( - 4 A e - 4 t - 6 B e - 6 t )

E com os dados fornecidos ( i C 0 + = 15 A   :

I C 0 + = 50 × 10 - 3 - 4 A - 6 B = 15

50 × 10 - 3 - 4 A - 6 B = 15                 ( 3 )

Formando um sistema com (2) e (3):

                        A + B = 20                

50 × 10 - 3 - 4 A - 6 B = 15              

Resolvendo o sistema, teremos:

A = 210   V                   e                       B =   - 190   V

Portanto,

A expressão de v ( t ) , será dada por:

v t = 210 e - 4 t - 190 e - 6 t       V       ∀ t > 0

Resposta

a) L = 833.3   m H

b) v t = 210 e - 4 t - 190 e - 6 t       V       ∀ t > 0