22. Repita o problema 21 para uma capacitância de 20   μ F .

a) Determine a constante de tempo do circuito quando a chave é colocada na posição 1.

b) Determine a expressão matemática para tensão entre os terminais do capacitor após a chave ter sido colocada na posição 1.

c) Determine a expressão matemática para a corrente depois que a chave é fechada (posição 1).

d)Determine a tensão υ c e a corrente i c se a chave é colocada na posição 2 em t = 100   m s

e) Determine as expressões matemáticas para tensão υ c e a corrente i c se a chave for colocada na posição 3 em t = 200   m s .

υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 300   m s .

Figura 10.84- com a alteração no valor da capacitância

Passo 1

Para a felicidade de todos, temos um circuito praticamente igual ao do problema anterior 😊, diferente apenas nos valores numéricos das grandezas.

Por isso, basta seguir os mesmos passos!

Vamos anotar as informações do problema:

R 1 =   3   k Ω   → 3 x   10 3 Ω

R 2 =   2   k Ω   → 2 x   10 3 Ω

E =   50 V

C =   20   μ F   → 20   x   10 - 6   F

Passo 2

a) Calcular a constante de tempo τ através da relação:

τ =   R   ∙ C

Como há dois resistores neste circuito, temos que calcular a resistência equivalente.

R e q = R 1 + R 2

R e q = 2 + 3   k Ω =   5   k Ω

R e q =   5   x   10 3   Ω

Passo 3

Agora podemos calcular a constante de tempo:

τ =   5   x   10 3 ∙   20   x   10 - 6  

τ =   100   x   10 - 3   s   =   100   m s

Passo 4

b) Agora vamos encontrar a expressão matemática para a tensão υ c para a constante de tempo de terminada no item anterior. A expressão geral para υ c é dada por:

υ c =   E ∙ 1   -   e - t τ

Agora, basta inserir as informações que temos sobre o problema, assim chegamos à:

υ c =   50   ∙ 1   -   e - t 100   x   10 - 3

Passo 5

c) Determine a expressão matemática para a corrente quando a chave estiver na posição 1. Vamos partir da expressão geral da corrente, representada por:

i c = E R ∙ e - t τ

Agora vamos inserir as informações que temos até o momento, assim:

i c = 50 5   x   10 3 ∙ e - t 100   x   10 - 3 A

i c = 10   x   10 - 3 ∙ e - t 100   x   10 - 3   A

i c = 10   ∙ e - t 100   x   10 - 3 m   A

Passo 6

d) Determine a tensão υ c e a corrente i c se a chave é colocada na posição 2 em t = 100   m s . Para o tempo proposto, temos a exponencial descrita por:

e -   t τ   → e -   100 100   → e -   1  

Desta forma, temos:

e -   1 ≈   0,37

Passo 7

Ainda no item d- utilizaremos o valor encontrado para exponencial, para determinar a tensão υ c e a corrente i c .

υ c =   50   ∙ 1   - 0,37  

υ c ≅   31,6   V

Agora, para a corrente, temos a expressão:

i c = 10   x   10 - 3 ∙ 0,37     A  

i c = 3,7   m A

Passo 8

e) Determine as expressões matemáticas para tensão υ c e a corrente i c se a chave for colocada na posição 3 em t = 200   m s . Para isso, teremos que calcular a constante de tempo para essa nova configuração de circuito.

τ ' =   2   x   10 3 ∙   20   x   10 - 6  

τ ' =   40   x   10 - 3   s   =   40   m s

Agora basta inserir o novo valor da constante de tempo, nas equações já trabalhadas nos itens b e c. Sendo assim, temos a tensão:

υ c =   50   ∙ 1   -   e - t 40     x   10 - 3 V

Para a corrente, há considerações a serem feitas: o sentido da corrente se inverte, logo, haverá um sinal contrário para a corrente, expressa por:

i c = - 50 2   x   10 3 ∙ e -   t 40   x   10 - 3   A

i c = - 25   x   10 - 3 ∙ e - t 40   x   10 - 3   A

i c = - 25   ∙ e - t 40   x   10 - 3 m A

Passo 9

Ainda no item e – Vamos inserir nas equações da corrente e da tensão a informação do intervalo de tempo t = 200   m s . Assim obtemos:

υ c =   50   ∙ 1   -   e - 200 40     → υ c =   49,66   V

i c = - 25   ∙ e -   200 40 A →   i c = - 24,83   m A

Passo 10

f) Trace as formas de υ c e i c para o intervalo de t = 0 até t = 300   m s .

Resposta

a)   τ =   1 0 0   m s

b) υ c =   50   ∙ 1   -   e - t 10 0   m s

c) i c = 10   ∙ e - t 10     m s m   A

d) υ c ≈   31,6   V ; i c = 3,7     m A

e) υ c ≅   49,66   V       ;       i c = - 24 ,   87   m A