Enunciado

A resistência do resistor no circuito do Exemplo 8.4 é alterada para 3.200 Ω .

a) Determine a expressão numérica para v(t) quando t 0.

b) Desenhe um gráfico de v(t) para o intervalo de tempo 0 t 7 ms. Compare essa resposta com a do Exemplo 8.4 (R = 20 k Ω ) e a do Exemplo 8.5 (R = 4 k Ω ). Em particular, compare os valores de pico de v(t) e os tempos em que esses valores ocorrem.

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questãozinha juntos?

No item (a) dessa questão, é pedido para calcularmos a expressão numérica para v ( t ) . Nós sabemos que para o circuito em questão, sua equação geral é dada pelo seguinte:

v t = A 1 e s 1 t + A 2 s 2 t

Portanto, devemos primeiramente determinar a resposta do circuito, para então calcularmos as raízes s 1 e s 2   do circuito.

Passo 2

Para avaliarmos a resposta do circuito, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 : Se α 2 > ω 0 2 , o circuito é superamortecido. Se α 2 < ω 0 2 , o circuito é subamortecido. E se α 2 = ω 0 2 , o circuito é criticamente amortecido.

Sendo assim, calcularemos primeiro os valores de α e   ω 0 :

Para α , utilizaremos a fórmula: α = 1 2 R C . Como o valor de R foi dado no enunciado, e o valor de C consta no Exemplo 8.4 mencionado no enunciado, temos:

α = 1 2 ( 3200 ) ( 0,125 * 10 - 6 ) = 1250

Já para ω 0 , temos que:

  ω 0 = 1 L C = 1000

Portanto, comparando os dois valores, podemos afirmar que α 2 > ω 0 2 , portanto, o circuito é superamortecido.

Passo 3

Para calcular as raízes, faremos uso da seguinte fórmula:

s 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Com os valores de α e ω 0 encontrados no passo anterior, temos que:

s 1,2 = - 1250 ± 1250 2 - 1000 2

s 1 = - 500 ;   s 2 = - 2000

Com os valores das raízes, podemos colocar na fórmula do passo 1:

v t = A 1 e - 500 t + A 2 e - 2000 t

Passo 4

Para concluir o item (a), encontraremos os valores de A 1 e A 2 .

Para isso, faremos uso das seguintes relações:

v 0 + = 0 =   A 1 +   A 2                       e                   d v 0 + d t = i C 0 + C = 98.000 V s

Portanto, podemos afirmar que:

- 500 A 1 - 2000 A 2 = 98.000

A 1 = + 980 15 ,   A 2 = - 980 15

Sendo, finalizando o item (a) temos que:

v t = 980 15 e - 500 t - e - 2000 t   V ,     t ≥ 0

Passo 5

Indo para o item (b), ao plotar o gráfico de v ( t ) no intervalo especificado de 0 ≤ t ≤ 7 m s , teremos:

Ao comparar com os valores dos exemplos 8.4 e 8.5 temos que:

No exemplo 8.4: v m á x ≅ 74,1   V em 1,4 ms

No exemplo 8.5: v m á x ≅ 36,1   V em 1 ms

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

a) v t = 980 15 e - 500 t - e - 2000 t   V ,     t ≥ 0

b)

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Calcule a equação diferencial satisfeita por i no circuito,Use este resultado para calcular i para t0 , se R = 10 Ω ,L = 2 H ,C = 0,05 F ,v 0 = 0 e i 0 = 6 A .
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Em um circuito RLC paralelo sem fontes, R = 1k ΩeC = 1μ F . Calcule L tal que o circuito seja:a) superamortecido com S 1,2 = - 250 , - 750s - 1 ; b) superamortecido com w d = 250 r a d s ; c) com amor
Calcule v para t0 , se:a) C = (1)/(5) F ; b) C = (1)/(9) F .