Resolva y ( t ) , para t > 0 :

y t = 1 + ∫ 0 t 2 y t - τ e - 2 τ d τ

[Sugestão: A integral é a convolução de 2 y ( t ) e e - 2 t .]

Passo 1

E aí, tudo belezinha? Último exercício desta seção, então vamos fazê-lo com muita emoção...

A gente, que não é besta nem nada, vai começar usando a dica dada no enunciado pra facilitar bastante nossa vida. Já sabemos de cara que a transformada de 1 é a mesma coisa da transformada de u ( t ) que é 1 s .

Passo 2

Para encontrarmos a transformada da integral de convolução, vamos definir quem é quem nessa história:

f t * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Assim,

∫ 0 t 2 y t - τ e - 2 τ d τ = ∫ 0 t e - 2 τ ⋅ 2 y ( t - τ ) d τ = e - 2 t * 2 y ( t )

Passo 3

Além do que já foi visto no passo anterior, vale salientar a transformada da convolução, que nada mais é do que o produto das transformadas, no domínio da frequência. Assim, a transformada de cada função é

L e - 2 t = 1 s + 2                           e                           L 2 y t = 2 ⋅ Y ( s )

Passo 4

Juntando tudo em uma única equação, temos

y t = 1 + ∫ 0 t 2 y t - τ e - 2 τ d τ ⇔ L Y s = 1 s + 1 s + 2 ⋅ 2 Y s

⇒ 1 - 2 s + 2 Y s = 1 s ⇒ s + 2 - 2 s + 2 Y s = 1 s ⇒ s s + 2 ⋅ Y s = 1 s

⇒ Y s = s + 2 s 2 = s s 2 + 2 s 2 ⇒ Y s = 1 s + 2 s 2

Passo 5

Uma vez que encontramos uma expressão para a transformada, podemos agora voltar para o domínio do tempo. Assim

f t = u t + 2 t   u t ⇒ f t = 1 + 2 t u ( t )

Resposta

f t = 1 + 2 t u ( t )