Enunciado

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Resolva a equação integro-diferencial a seguir considerando as condições iniciais dadas.

c) d 2 v d t 2 + 2 d v d t + v = 3 ,   v 0 = 5 , d v 0 d t = 1

Passo 1

c) Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + ( 2 s V s - 2 v 0 ) + V ( s ) = 3 s

Substituindo as condições dadas no enunciado:

s 2 V s - 5 s - 1 + ( 2 s V s - 2.5 ) + V ( s ) = 3 s

s 2 V s - 5 s - 1 + ( 2 s V s - 10 ) + V ( s ) = 3 s

Colocando V ( s ) em evidência:

V s . s 2 + 2 s + 1 = 3 s + 5 s + 11

Somando os termos do lado direito:

V s . s 2 + 2 s + 1 = 3 s + 5 s 2 + 11 s s

V s . s 2 + 2 s + 1 = 5 s 2 + 11 s + 3 s

Agora vamos isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação :)

V s = 5 s 2 + 11 s + 3 s s 2 + 2 s + 1

Como s 2 + 2 s + 1 tem raíz dupla em - 1 :

V s = 5 s 2 + 11 s + 3 s s + 1 ²

Passo 2

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de V ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

5 s 2 + 11 s + 3 s s 2 + 2 s + 1 = A s + B s + 1 + C ( s + 1 ) ²

Fazendo o processinho de frações parciais que vimos na seção anterior, temos:

A = 3

B = 2

C = 3

Então:

5 s 2 + 11 s + 3 s s 2 + 2 s + 1 = 3 s + 2 s + 1 + 3 ( s + 1 ) ²

Fazendo a transformada inversa de cada termo, encontramos

v t = 3 + 2 e - t + 3 t e - t v o l t s

Resposta

c) v t = 3 + 2 e - t + 3 t e - t v o l t s

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