Resolva para š‘„ e š‘¦ , vĆ”lido para š‘” > 0 :

2 š‘„^' + 4 š‘„ + š‘¦^' + 7 š‘¦ = 0

š‘„^' + š‘„ + š‘¦^' + 3 š‘¦ = š›æ (š‘”)

Passo 1

Fala, moçada! Como andam as coisas com vcs? Espero que ótimas!

Para resolvermos este sistema, vamos levar as equações para o domínio da frequência, com condições iniciais nulas.

2 š‘  š‘‹ (š‘ ) + 4 š‘‹ (š‘ ) + š‘  š‘Œ (š‘ ) + 7 š‘Œ (š‘ ) = 0

š‘  š‘‹ (š‘ ) + š‘‹ (š‘ ) + š‘  š‘Œ (š‘ ) + 3 š‘Œ (š‘ ) = 1

Passo 2

Este sistema pode ser resolvido de diversas maneiras. O método de Cramer é um bom exemplo. Mas a essa altura do campeonato você estarÔ fazendo sua prova com algum recurso computacional, seja uma calculadora mais sofisticada ou alguma dica na prova, assim, vamos adiantar o processo tedioso que foi feito em inúmeros exercícios nesse capítulo e vamos focar na solução computacional desse sistema:

š‘‹ (š‘ ) = - (š‘  + 1)/((š‘  + 1)^2 + 2^2) + (6)/(4) * (4)/((š‘  + 1)^2 + 2^2)

E

š‘Œ (š‘ ) = (2 (š‘  + 1))/((š‘  + 1)^2 + 2^2) + (2)/(2) * (2)/((š‘  + 1)^2 + 2^2)

Passo 3

De posse desses valores e com as transformadas bonitinhas e cheirosinhas, podemos voltar para o domĆ­nio do tempo facilmente:

š‘„ (š‘”) = [- š‘’^(- š‘”) cos 2 š‘” + (3)/(2) š‘’^(- š‘”) sin 2 š‘”] š‘¢ (š‘”)

E

š‘¦ (š‘”) = [2 š‘’^(- š‘”) cos 2 š‘” + (1)/(2) š‘’^(- š‘”) sin 2 š‘”] š‘¢ (š‘”)

Resposta

š‘„ (š‘”) = [- š‘’^(- š‘”) cos 2 š‘” + (3)/(2) š‘’^(- š‘”) sin 2 š‘”] š‘¢ (š‘”)

š‘¦ (š‘”) = [2 š‘’^(- š‘”) cos 2 š‘” + (1)/(2) š‘’^(- š‘”) sin 2 š‘”] š‘¢ (š‘”)