Sabemos que a carga de um condutor vai para a superfície, mas não é fácil determinar exatamente como ela se distribui. Um exemplo famoso no qual a densidade de carga superficial pode ser explicitamente calculada é o elipsoide:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .

Neste caso

σ = Q 4 π a b c   x 2 a 4 + y 2 b 4 + z 2 c 4 - 1 2         ,

Onde Q é a carga total. Escolhendo valores apropriados para a ,   b   e   c , obtenha (a partir da Equação 2.57):

a) a densidade líquida (de ambos os lados) da carga superficial σ ( r ) em um disco circular de raio R ;

b) a densidade líquida da carga superficial σ   ( x ) em uma ‘fita’ condutora infinita no plano x y que se sobrepõe ao eixo y entre x =   - a e x = a (considere que Ʌ é a carga total por unidade de comprimento da fita);

c) a carga líquida por unidade de comprimento λ ( x ) em uma ‘agulha’ condutora que fica entre x =   - a e x = a . Em cada caso, desenhe o gráfico do seu resultado.

Passo 1

a) Faala, pessoal! Bora pra mais uma. Para calculara densidade líquida da carga superficial em um disco circular, vamos primeiro eliminar a variável z , e utilizando a fórmula da densidade para um elipsoide, teremos:

σ x ,   y = Q 4 π a b 1 c 2 x 2 a 4 + c 2 y 2 b 4 + 1 - x 2 a 2 - y 2 b 2

E agora, como temos que z = 0 a variável c também será c = 0 , ou seja, temos uma elipse no plano x y :

σ x ,   y = Q 4 π a b 1 1 - x a 2 - y b 2

Como devemos levar em conta os dois lados do elipsoide, vamos multiplicar a expressão por 2:

σ x ,   y = Q 2 π a b 1 1 - x a 2 -   y b   2

Agora, como no item a) nos foi pedido que calculássemos a densidade de carga para um disco circular de raio R , teremos que a = b = R e r = x 2 + y 2 . Aplicando na expressão anterior:

σ r = Q 2 π R 1 1 - x R 2 - y R 2

σ r = Q 2 π R 1 R 2 - x 2 - y 2

σ r = Q 2 π R 1 R 2 - r 2

O gráfico será:

Passo 2

b) Para uma fita condutora infinita no plano x y , teremos que Q b ≡ Ʌ (como dito no enunciado) e como devemos considerar comprimento infinito b → ∞ , vamos ter:

σ x = Q 2 π b 1 1 - x a 2 -   y ∞   2

σ x = Q 2 π b 1 1 - x a 2

σ x = Q 2 π b 1 a 2 - x 2

σ x = Ʌ 2 π 1 a 2 - x 2

O gráfico será:

Passo 3

c) Para uma agulha condutora, teremos que b = c e r ≡ y 2 + z 2 para termos um elipsoide de revolução, portanto, ficaremos com:

x 2 a 2 + r 2 c 2 = 1

A densidade de carga será, então:

σ =   Q 4 π a c 2 1 x 2 a 4 + r 2 c 4  

A carga λ ( x ) líquida por unidade de comprimento é dada por:

λ x = d q d x

A carga para um anel de largura d x é:

d q = σ 2 π r   d s

Onde:

d s = d x 2 + d r 2 = d x 1 + d r d x 2

Derivando a expressão do elipsoide, teremos:

2 x   d x a 2 + 2 r   d r c 2 = 0

Logo:

d r d x =   - c 2 x a 2 r

Substituindo esse resultado na expressão para d s :

d s = d x 1 + c 4 x 2 a 4 r 2 = d x c 2 r   x 2 a 4 + r 2 c 4

Agora aplicando os resultados encontrados para d x e d s na expressão inicial para a carga líquida por unidade de comprimento λ ( x ) :

λ x = d q d x = 2 π r   Q 4 π a c 2 1 x 2 a 4 + r 2 c 4   c 2 r   x 2 a 4 + r 2 c 4 = Q 2 a   ( c o n s t a n t e )

O gráfico será:

Resposta

a)

σ r = Q 2 π R 1 R 2 - r 2

b)

σ x = Ʌ 2 π 1 a 2 - x 2

c)

λ x = 2 π r   Q 4 π a c 2 1 x 2 a 4 + r 2 c 4   c 2 r   x 2 a 4 + r 2 c 4 = Q 2 a   ( c o n s t a n t e )