Enunciado

Qual das seguintes identidades não é valida?

  1. a b + c = a b + b c
  2. a × b + c = a × b + a × c
  3. a ⋅ b = b ⋅ a
  4. c ⋅ a × b = - b ⋅ a × c

a A ∙ a B = c o s θ A B

Passo 1

E ai galerinha, bora lá?

(a) Considerando a expressão a b + c = a b + b c

Escrevendo a expressão pela lei da distributiva, para o produto escalar.

a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c

Portanto a b + c ≠ a b + b c

Logo não e uma identidade válida.

Passo 2

(b) Considerando a seguinte expressão a × b + c = a × b + a × c

Escrevendo a expressão da lei distributiva para o produto vetorial.

a × b + c = a × b + a × c

Portanto, a × b + c = a × b + a × c é valida.

Passo 3

(c) Considerando a seguinte expressão a ⋅ b = b ⋅ a  

Escrevendo a expressão da lei comutativa para o produto escalar

a ⋅ b = b ⋅ a

Portanto a ⋅ b = b ⋅ a   é uma identidade válida.

Passo 4

(d) Considerando a seguinte expressão c ⋅ a × b = - b ⋅ a × c

Escrevendo a expressão da lei comutativa para produto cruzado.

a × b = - b × a

c ⋅ a × b = c ⋅ a × b

Substitua a ⋅ c   por c ⋅ a nesta expressão:

c ⋅ a × b = a ⋅ c × b

Substitua - b × c por c × b nessa expressão:

c ⋅ a × b = a ⋅ - b × c

= a ⋅ - b × c

= - b ⋅ ( a × c )

Portanto c ⋅ a × b = - b ⋅ a × c é uma identidade válida.

Passo 5

(e) Considerando a seguinte expressão a A ∙ a B = c o s θ A B  

Escrevendo a expressão para o produto escalar de dois vetores A , B .

a ⋅ b = A B c o s θ A B

a ⋅ b A B = c o s θ A B

a A ⋅ b B = c o s θ A B

Substitua a A por a A , e a B por b B nesta expressão

a A ∙ a B = c o s θ A B

Portanto, a A ∙ a B = c o s θ A B é uma identidade válida

Resposta

Logo podemos concluir que apenas a letra (a) é uma identidade não válida.

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