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Enunciado

Elétrica - Sadiku, Elementos de Eletromagnetismo- Ed: 5º - Capítulo 3.Questões de Revisão - Ex. 6

Qual das seguintes operações resulta em zero?

  1. Grad div
  2. Div grad
  3. Rot grad
  4. Rot rot

Passo 1

Vem comigo galera, que eu tenho um planoooo, no caminho eu explico!!

Só boraaaaaaaa

Consideremos a expressão

g r a d   d i v

Iremos calcular o gradiente da divergência de um vetor V.

d i v V

O vetor V tem três componentes

V = V x a x + V y a y + V z a z

Passo 2

A divergência de um vetor é o produto escalar de ∇ e do vetor

∇ = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z

E

V = V x a x + V y a y + V z a z

O produto escalar de dois vetores é a soma do produto dos respectivos componentes.

Isso é,

∇ ⋅ V = ∂ V x ∂ x a x + ∂ V y ∂ y a y + ∂ V z ∂ z a z

Esta operação produz um escalar e poder ser realizada apenas em um vetor.

Passo 3

  1. O gradiente de divergência é

    2. g r a d   d i v V = ∇ ( ∇ ⋅ V )

    Substituindo

    ∇ = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z

    ∇ ∇ ⋅ V = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z ( ∇ ⋅ V )

    ∇ ∇ ⋅ V = ∂ ∇ ⋅ V ∂ x a x + ∂ ∇ ⋅ V ∂ y a y + ∂ ∇ ⋅ V ∂ z a z

    Passo 4

    Substituindo ∇ ⋅ V = ∂ V x ∂ x a x + ∂ V y ∂ y a y + ∂ V z ∂ z a z

    ∇ ∇ ⋅ V =

    ∂ ∂ V x ∂ x a x + ∂ V y ∂ y a y + ∂ V z ∂ z a z ∂ x a x + ∂ ∂ V x ∂ x a x + ∂ V y ∂ y a y + ∂ V z ∂ z a z ∂ y a y + ∂ ∂ V x ∂ x a x + ∂ V y ∂ y a y + ∂ V z ∂ z a z ∂ z a z

    ∇ ∇ ⋅ V = ∂ 2 V x ∂ x 2 + ∂ 2 V y ∂ y 2 + ∂ 2 V z ∂ z 2 a x + ∂ 2 V x ∂ x 2 + ∂ 2 V y ∂ y 2 + ∂ 2 V z ∂ z 2 a x + ∂ 2 V x ∂ x 2 + ∂ 2 V y ∂ y 2 + ∂ 2 V z ∂ z 2 a x

    ∇ ∇ ⋅ V ≠ 0

    Logo, o gradiente de divergência não é igual a zero.

    Passo 5

  2. Considerando a expressão d i v   g r a d

    3. Calcularemos a curvatura de um vetor A

    Considerando uma função escalar B

    O gradiente da função escalar é ∇ B

    Substituindo

    ∇ = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z

    ∇ B = ∂ B ∂ x a x + ∂ B ∂ y a y + ∂ B ∂ z a z

    Passo 6

    Calcularemos a divergência do gradiente do escalar

    Isso é ∇ ⋅ ∇ B

    Determinaremos o produto escalar do operador del e o gradiente do escalar B.

    ∇ ⋅ ∇ B = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z ⋅ ∂ B ∂ x a x + ∂ B ∂ y a y + ∂ B ∂ z a z

    ∇ ⋅ ∇ B = ∂ 2 B ∂ x a x + ∂ 2 B ∂ y a y + ∂ 2 B ∂ z a z

    ∇ ⋅ ∇ B ≠ 0

    Portanto, a divergência de gradiente de um escalar não é igual a zero.

    Passo 7

  3. Considerando a expressão

    4. r o t   g r a d  

    O gradiente do operador é definido apenas para funções escalares.

    Considerando uma função escalar B

    O gradiente da função escalar é ∇ B

    Substituindo  

    ∇ = ∂ ∂ x a x + ∂ ∂ y a y + ∂ ∂ z a z  

    E

    ∇ B = ∂ B ∂ x a x + ∂ B ∂ y a y + ∂ B ∂ z a z

    Passo 8

    Calcularemos a curvatura do gradiente da função escalar.

    O rot ∇ B é definido como,

    ∇ × ∇ B = ∂ ∂ B ∂ z ∂ y - ∂ ∂ B ∂ y ∂ z a x + ∂ ∂ B ∂ x ∂ z - ∂ ∂ B ∂ z ∂ x a y + ∂ ∂ B ∂ y ∂ x - ∂ ∂ B ∂ x ∂ y a z

    ∇ × ∇ B = ∂ 2 B ∂ y ∂ z - ∂ 2 B ∂ y ∂ z a x + ∂ 2 B ∂ x ∂ z - ∂ 2 B ∂ x ∂ z a y + ∂ 2 B ∂ x ∂ y - ∂ 2 B ∂ x ∂ y a z

    ∇ × ∇ B = 0 a x + 0 a y + 0 a z

    ∇ × ∇ B = 0

    Passo 9

  4. Consideremos a expressão r o t   r o t

A operação de ondulação é definida apenas para um vetor.

Calcularemos a operação de enrolamento num vetor A.

∇ × A = ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z a x + ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x a y + ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y a z

Passo 4

Determinaremos o valor da expressão rot de rot de um vetor.

∇ × ∇ × A = ∇ × ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z a x + ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x a y + ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y a z

∇ × ∇ × A = ∂ ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y ∂ y - ∂ ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x ∂ z a x + ∂ ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z ∂ z - ∂ ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y ∂ x a y + ∂ ∂ A x ∂ x - ∂ A z ∂ y ∂ x - ∂ ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z ∂ y a z

∇ × ∇ × A =

∂ 2 A y ∂ x ∂ y - ∂ 2 A x ∂ y 2 - ∂ 2 A x ∂ z 2 - ∂ 2 A z ∂ x ∂ z a x + ∂ 2 A z ∂ x ∂ z - ∂ 2 A y ∂ z 2 - ∂ 2 A y ∂ x 2 - ∂ 2 A z ∂ x ∂ y a y + ∂ 2 A x ∂ x 2 - ∂ 2 A z ∂ x ∂ y - ∂ 2 A z ∂ y 2 - ∂ 2 A y ∂ x ∂ y a z

∇ × ∇ × A ≠ 0

Portanto, a expressão resultante de rot de rot de um vetor não e matematicamente zero.

Passo 5

Portanto , as opções A, B e D, não são matematicamente iguais a zero.

Logo, as opções A,B,e D estão erradas.

Resposta

Portanto, a opção C e a única expressão matematicamente zero.