Segundo a Equação 4.5, a força em um único dipolo é p ∙ ∇ E , de forma que a força líquida em um objeto dielétrico é

F = ∫ P ∙ ∇ E e x t   d τ

[Aqui E e x t é campo de tudo, exceto o dielétrico. Você pode pressupor que não importaria se usasse o campo total; afinal, o dielétrico não pode exercer força sobre si mesmo. No entanto, como o campo do dielétrico é descontínuo no local de qualquer carga superficial, a derivada introduz uma função delta espírita e você tem de acrescentar um termo de superfície para compensação, ou (melhor) ficar com E e x t , que não sofre descontinuidade.] Use a equação 4.69 para determinar a força sobre uma esfera minúscula de raio R , composta de material dielétrico linear de suscetibilidade χ e , que está situada a uma distância s de um fio fino que possui uma densidade linear de carga uniforme λ .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O campo externo da linha de carga é:

E e x t → = λ 2 ϵ 0 π s s ^

Como a esfera é pequena, podemos dizer que o campo elétrico do fio é essencialmente uniforme ao seu redor, portanto, de acordo com o Ex. 4.7) o campo elétrico (e, portanto, a polarização) dentro da esfera é:

E i n t → = 3 2 + ϵ r E 0 →

Com isso, nós temos que

E i n t → = 3 2 + ϵ r λ 2 ϵ 0 π s s ^

Logo,

P → = χ e ϵ 0 E 0 → = 3 χ e 2 + χ e λ 2 π s s ^

Passo 2

A força é então:

F → = ∫ P ∂ ∂ r E s s ^ r 2   d r sen ⁡ θ d θ   d ϕ

Substituindo os valores, nós temos que

F → = 4 3 R 3 π 3 χ e 3 + χ e λ 2 π s ∂ ∂ s λ 2 π ϵ 0 s

Com isso, nós chegamos ao seguinte resultado

F → = - χ e 3 + χ e λ 2 R 3 π ϵ 0 s 3   s ^

Resposta

F → = - χ e 3 + χ e λ 2 R 3 π ϵ 0 s 3   s ^