Show that if L = 4 R 2 C , the equation v t = e - α t A 1 t + A 2 is a solution to Eq. [4]. If v 0 = 16   V and d v d t t = 0 = 4 , find A1 and A2.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que se L = 4 R 2 C a equação v t = e - α t A 1 t + A 2 é solução para a seguinte equação diferencial de segundo gau:

C d 2 v d t 2 + 1 R d v d t + 1 L   v = 0    

Como L = 4 R 2 C :

C d 2 v d t 2 + 1 R d v d t + 1 4 R 2 C   v = 0               ( 1 )

Para isso, primeiramente vamos derivar a equação de v ( t ) para encontrar d v / d t :

d v d t = e - α t A 1 - α e - α t ( A 1 t + A 2 )

d v d t = A 1 - α A 1 t - α A 2 e - α t

E agora derivaremos essa expressão para encontrar o termo d 2 v / d t 2 :

d 2 v d t 2 = A 1 - α A 1 t - α A 2 - α e - α t - α A 1 e - α t               ( 2 )

d 2 v d t 2 =   - α 2 A 1 - α A 1 t - α A 2 e - α t                         ( 3 )

Passo 2

Agora substituiremos (2) e (3) em (1):

C - α 2 A 1 - α A 1 t - α A 2 e - α t + 1 R   A 1 - α A 1 t - α A 2 e - α t + 1 4 R 2 C   e - α t A 1 t + A 2 = 0

Rearrumando a equação:

e - α t - 2 C α + 1 R + C α 2 t - α R t + 1 4 R 2 C t A 1 + - C α 2 - α R + 1 4 R 2 C A 2 = 0

Agora substituindo α = 1 2 R C :

e - α t - 1 R + 1 R + 1 4 R 2 C t - 1 2 R 2 C t + 1 4 R 2 C t A 1 + 1 4 R 2 C - 1 2 R 2 C + 1 4 R 2 C A 2 = 0

E por fim, rearrumando mais uma vez:

e - α t 1 2 R 2 C t - 1 2 R 2 C t A 1 + 1 2 R 2 C - 1 2 R 2 C A 2 = 0

Como podemos ver, o os termos que multiplicam A1 e os termos que multiplicam A2 irão zerar satisfazendo a igualdade, portanto:

v t = e - α t A 1 t + A 2   é   s o l u ç ã o   p a r a   a e q u a ç ã o   d e   s e g u n d o   g r a u   1 !

Passo 3

Agora vamos adotar os valores dados no enunciado para v ( 0 ) e d v / d t para encontrar A1 e A2:

Para v 0 = 16 , vamos ter:

v 0 = e - α × 0 A 1 × 0 + A 2 = 16

A 2 = 16

Agora para d v d t t = 0 = 4 , vamos ter:

d v d t t = 0 =   A 1 - α A 1 × 0 - α A 2 e - α × 0 = 4

A 1 - α A 2 = 4

Como A2 = 16:

A 1 = 4 + 16 α

E aqui finalizamos a nossa questão, galera. Até a próxima 😊

Resposta

v t = e - α t A 1 t + A 2   é   s o l u ç ã o .  

A 1 = 4 + 16 α  

A 2 = 16