Enunciado

Para o sistema na Figura 10.95, usando um multímetro digital com resistência de 10 M Ω no modo voltímetro:

a) Determine a leitura do voltímetro quatro constantes de tempo depois da chave ser fechada.

b) Calcule o tempo necessário para que a corrente i c caia para 3 μ A

c) Determine o tempo necessário, depois que a chave é fechada, para que a tensão entre os terminais do medidor v c atinja o valor de 10V.

Passo 1

Para esse circuito vamos fazer um negócio diferente pra facilitar nossa análise. Vamos calcular o equivalente de thévenin para esse circuito à partir dos terminais do capacitor. Para esse equivalente, a resistência do multímetro fica em paralelo com a resistência de 2 M Ω . Então, para calcular o Rth:

R t h = 2 M | | 10 M = 1.67 M Ω

Feito isso, para calcularmos a tensão nos terminais do capacitor (Vth) conseguimos observar que é a mesma tensão no multímetro, então basta fazer um divisor de tensão entre o resistor de 2 M Ω e o de 10 M Ω , com a fonte:

V t h = 24 * 10 M 10 M + 2 M = 20 V

Com isso calculado já conseguimos extrair a tensão no multímetro após 4 constantes de tempo! vamos para o passo 2:

Passo 2

Com a tensão no capacitor conhecida (Vth) e para 4 τ conseguimos expressar a tensão no capacitor. Vamos escrever a equação primeiro:

v c = V t h ( 1 - e - t / τ ) → v c = V t h ( 1 - e - 4 τ / τ ) = V t h ( 1 - e - 4 )

Substituindo o valor de Vth e fazendo as contas:

v c = 20 ( 1 - e - 4 ) = 19.63 V

Fazendo esse equivalente de thévenin ficou mole, não foi?

Passo 3

Agora, vamos começar calculando o τ pois vamos precisar dele para descobrir em quanto tempo a corrente i c chega em 3 μ . Como sabemos, o τ = R C , e o R que vamos usar é o Rth calculado no passo 1 então:

τ = R C = 1.67 M * 1 μ = 1.67 s

Com isso podemos aplicar a equação da tensão e substituir os valores que conhecemos, mas primeiro vamos escrever essa equação

i c = E R ( e - t / τ )

Substituindo os valores de E = 24 V , R = R t h = 1.67 M Ω , τ = 1.67 s e i c = 3 μ A

3 μ = 24 1.67 M ( e - t / 1.67 )

Fazendo a divisão de 24/1.67 e passando para o outro lado dividindo temos:

0.25 = ( e - t / 1.67 )

Com essa expressão, basta isolar o t . Para isso precisamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

log e ( 0.25 ) = log e ( ( e - t / 1.67 ) ) → - 1.39 = - t / 1.67

Passando o 1.67 multiplicando e trocando os sinais (pois todo mundo tá negativo):

t = 1.39 * 1.67 = 2.32 s

Passo 4

A tensão no multímetro é a tensão no capacitor ( v c ), então, vamos escrever a equação de tensão para o capacitor:

v c = V t h ( 1 - e - t / τ )

Como já calculamos todos esses valores, vamos substituir? Claro que vamos! (lembrando que o v c foi dado no problema)

10 = 20 ( 1 - e - t / 1.67 )

Jogando o 20 para a esquerda dividindo, e passando o 1 da direita para o lado esquerdo da equação:

10 20 - 1 = - e - t / 1.67 → - 0.5 = - e - t / 1.67

Podemos agora aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para conseguirmos isolar o t (lembrando de trocar o sinal de 0.5):

log e ( 0.5 ) = log e ( e - t / 1.67 ) → - 0.69 = - t / 1.67

Agora basta jogar o t pro lado esquerdo da equação multiplicando e trocando o sinal que obtemos o tempo:

- 0.69 * 1.67 = - t → t = 0.69 * 1.67 = 1.15 s

Demora a pegar o jeito mas é tranquilo quando pega, né? bora que tem mais exercício!

Resposta

a) v m = 19.63 V

b) t = 2.32 s

c) t = 1.15 s

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