a) Solve the following system of equations:

4 = v 1 100 + ( v 1 - v 2 ) 20 + ( v 1 - v x ) 50

10 - 4 - - 2 = v x - v 1 50 + ( v x - v 2 ) 40

- 2 = v 2 25 + v 2 - v x 40 + ( v 2 - v 1 ) 20

b) Verify you solution using MATLAB.

Passo 1

a) Primeiramente para resolver o sistema, vamos nos livrar dessas frações, dividindo todos os numeradores pelos denominadores, ficando com:

4 = 0.01 v 1 + 0.05 v 1 - 0,05 v 2 + 0.02 v 1 - 0.02 v x

8 = 0.02 v x - 0.02 v 1 + 0.0 25 v x - 0.025 v 2

- 2 = 0.04 v 2 + 0.025 v 2 - 0.025 v x + 0.05 v 2 - 0.05 v 1

Rearrumando ficaremos com:

4 = 0.08 v 1 - 0.05 v 2 - 0.02 v x

8 =   - 0.02 v 1 - 0.025 v 2 + 0.045 v x

- 2 =   - 0.05 v 1 + 0.115 v 2 - 0.025 v x

Podemos multiplicar todas as equações por mil para nos livrarmos das vírgulas:

4000 = 80 v 1 - 50 v 2 - 20 v x

8000 = - 20 v 1 - 25 v 2 + 45 v x

- 2000 = - 50 v 1 + 115 v 2 - 25 v x

Agora podemos usando eliminação de Gauss., primeiramente vamos somar 1/4 da linha 1 com a linha 2 :

4000 = 80 v 1 - 50 v 2 - 20 v x

9 000 = - 37.5 v 2 + 4 0 v x

- 2000 = - 50 v 1 + 115 v 2 - 25 v x

Podemos somar 5/8 da linha 1 com a linha 3:

4000 = 80 v 1 - 50 v 2 - 20 v x

9 000 = - 37 . 5 v 2 + 4 0 v x

500 = 83.75 v 2 - 37.5 v x

E por fim podemos subtrair -67/30 da linha 2 com a linha 3 para eliminar v 2 e encontrar v x :

4000 = 80 v 1 - 50 v 2 - 20 v x

9 000 = - 37 . 5 v 2 + 4 0 v x

20600 = 51.8333 v x

v x = 20600 51.833 = 397.4   V

E substituindo v x nas outras equações encontraremos:

v 1 =   264.3   V                           e                                 v 2 = 183.9   V      

Passo 2

b) Usando um software para a resolução de matrizes análogo ao MATLAB encontraremos:

Resposta

a) v 1 = 264.3   V ,   v 2 = 183.9   V       e       v x = 397.4   V

b) imagem