Uma superfície cônica (um cone de sorvete vazio) tem uma densidade de carga uniforme σ . A altura do cone é h , assim como o raio do topo. Encontre a diferença de potencial entre os pontos a (o vértice) e b (o centro do topo).

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para encontrarmos essa diferença de potencial vamos calcular o potencial em cada ponto e depois subtrai-los.

A fórmula para o potencial que vamos usar está abaixo:

V = 1 4 π ϵ 0 ∫ σ r ' s d a '

O que precisamos fazer agora, então, é definir as variáveis e calcular a integral. Bora lá!!

Passo 2

As variáveis do cálculo podem ser analisadas abaixo:

Calculando o potencial elétrico em a .

V a = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 h σ 2 π r s d s

Onde r = s / 2 .

V a = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 h σ 2 π 2 d s

V a = 2 π σ 4 π ϵ 0 1 2 2 h

V a = σ h 2 ϵ 0

Calculando o potencial elétrico em b .

V b = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 h σ 2 π r s → d s

Onde s → = h 2 + s 2 - 2 h s e r = s / 2 .

V b = σ 2 2 ϵ 0 ∫ 0 2 h s h 2 + s 2 - 2 h s   d s

V b = σ 2 2 ϵ 0 h 2 + s 2 - 2 h s + h 2 ln ⁡ 2 h 2 + s 2 - 2 h s + 2 s - 2 h 2 h 0

V b = σ 2 2 ϵ 0 h 2 ln ⁡ 2 h + 2 h - ln ⁡ 2 h - 2 h

V b = σ h 4 ϵ 0 ln ⁡ 1 + 2

Calculando a diferença de potencial entre os dois pontos, encontramos:

V a - V b = σ h 2 ϵ 0 1 - ln ⁡ 1 + 2

Resposta

V a - V b = σ h 2 ϵ 0 1 - ln ⁡ 1 + 2