Suponha que um campo elétrico E ( x ,   y ,   z ) tem a forma:

E x = a x ,                             E y = 0 ,                       E z = 0

Onde a é uma constante. Qual é a densidade de carga? Como você explica o fato de que o campo aponta em uma determinada dimensão, sendo a densidade de carga uniforme? [Este problema é mais sutil do que parece e merece uma análise cuidadosa]

Passo 1

Faaala, galera! Bora para mais uma. Para encontrar o valor da densidade, vamos usar a forma diferencial da lei de Gauss para encontrar o seu valor. A forma diferencial da lei de Gauss é dada por:

∇   .   E = ρ ϵ 0

Isolando a variável ρ nessa expressão, teremos:

ρ = ∇   .   E   ϵ 0  

Fazendo o produto escalar do vetor de derivadas e o vetor do campo elétrico E para a componente x , teremos:

ρ =   ϵ 0 ∇   .   E =   ϵ 0 ∂ ∂ x a x =   ϵ 0 a      

Ou seja, a densidade de carga será constante   ( ϵ 0 a   ) para todas as direções.

Passo 2

A segunda pergunta nos pede para explicar o fato de que o campo aponta para uma direção mesmo a que a densidade de carga seja uniforme em todos os pontos (como calculado anteriormente). Antes de tentar responder essa perunta, devemos nos atentar para o fato de que nem a lei de Gauss nem a sua forma diferencial, por si só, podem determinar o campo elétrico. Como qualquer equação diferencial, precisaríamos de condições de contorno para obter precisamente essas informações. Como exemplo, em alguns dos casos nós acabamos adotando condições de contorno automaticamente, por serem mais óbvias (como quando consideramos que o campo elétrico E tende a zero para distâncias muito grandes em relação a carga fonte) e em outros usamos da simetria do problema. Para este problema encontraríamos a mesma resposta para campos elétricos como: E = a y y ^ ,       E = a 3 r e etc. Por fim, chegamos a conclusão de que não temos informações suficientes para determinar a resposta (condições de contorno, por exemplo, ou relações de simetria).

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😉

Resposta

ρ =   ϵ 0 a      

N ã o   t e m o s   i n f o r m a ç õ e s   s u f i c i e n t e s   p a r a   d e t e r m i n a r   a   r e s p o s t a