Suponha que J ( r ) é constante no tempo, mas ρ ( r ,   t ) não – condições que podem ocorrer, por exemplo, quando um capacitor está sendo carregado.

(a) Mostre que a densidade de carga em qualquer ponto determinado é uma função linear de tempo:

ρ r , t = ρ r ,   0 + ρ ˙ r ,   0 t

Onde ρ ˙ ( r ,   0 ) é a derivada temporal de ρ em t = 0 .

Esta não é uma configuração eletrostática ou magnetostática; porém – um tanto surpreendente – tanto a lei de Coulomb (na forma da Equação 2.8) quanto a lei de Biot-Savart (Equação 5.39) se aplicam, como você pode confirmar mostrando que elas satisfazem as equações de Maxwell.

(b) Mostre que

B r = μ 0 4 π ∫ J ( r ' ) × l ^ l 2 d l '

Obedece à lei de Ampère com o termo de corrente de deslocamento de Maxwell.

Passo 1

Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, vamos fazer manipulações algébricas e algumas interpretações para provar o que o enunciado pede. Bora láa!!!

Passo 2

Para provarmos que a densidade de carga é uma função linear no tempo, podemos usar a equação de Maxwell abaixo:

∇ ∙ J → = - ∂ ρ ∂ t

Derivando os dois lados no tempo.

0 = - ∂ 2 ρ ∂ t 2

Como a densidade de corrente é independente do tempo. A densidade de carga é, por consequência, uma função linear no tempo.

ρ r , t = ρ r ,   0 + ρ ˙ r ,   0 t

Passo 3

O que o enunciado quer que façamos na letra (b) é conferir se o a lei de Biot-Savart e a de Coulomb satisfazem as equações de Maxwell. Então, vamos nessa!!

Equação 1:

∇ ∙ E → = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ∇ ∙ ρ r → ' ,   t l ^ l 2 d V '

= 1 4 π ϵ 0 ∫ V ρ r → ' ,   t ∇ ∙ l ^ l 2 d V

= 1 4 π ϵ 0 ∫ V ρ r → ' ,   t δ l → 4 π d V '

∇ ∙ E → = ρ r → ,   t

Então, a primeira equação de Maxwell foi satisfeita.

Equação 2:

∇ ∙ B → = μ 0 4 π ∫ V ∇ ∙ J → ( r → ' ) × l ^ l 2 d V '

∇ ∙ J → r → ' × l ^ l 2 = l ^ l 2 ∙ ∇ × J → r → ' - J → ( r → ' ) ∙ ∇ × l ^ l 2

0 = 0 - 0

Logo, mais uma Equação de Maxwell está satisfeita.

Equação 3:

∇ × E → = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ρ r → ' ,   t ∇ × l ^ l 2 d V ' = 0

O resultado é zero, pois, o rotacional do termo é zero. Assim como:

- ∂ B → ∂ t = 0

Como a densidade de corrente é independente do tempo, 0 = 0 , e a 3 equação de Maxwell também foi satisfeita.

Equação 4:

∇ × B = μ 0 J - μ 0 4 π ∫ l ^ l 2 ( - ρ ) d r

= μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ l ^ l 3 d r

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t

Por fim, terminamos todas as Equações de Maxwell, é isso!!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.