Suponha que é constante no tempo, mas não – condições que podem ocorrer, por exemplo, quando um capacitor está sendo carregado.
(a) Mostre que a densidade de carga em qualquer ponto determinado é uma função linear de tempo:
Onde é a derivada temporal de em .
Esta não é uma configuração eletrostática ou magnetostática; porém – um tanto surpreendente – tanto a lei de Coulomb (na forma da Equação 2.8) quanto a lei de Biot-Savart (Equação 5.39) se aplicam, como você pode confirmar mostrando que elas satisfazem as equações de Maxwell.
(b) Mostre que
Obedece à lei de Ampère com o termo de corrente de deslocamento de Maxwell.
Passo 1
Falaaa, meu querido/ minha querida!! Para resolvermos essa questão, vamos fazer manipulações algébricas e algumas interpretações para provar o que o enunciado pede. Bora láa!!!
Passo 2
Para provarmos que a densidade de carga é uma função linear no tempo, podemos usar a equação de Maxwell abaixo:
Derivando os dois lados no tempo.
Como a densidade de corrente é independente do tempo. A densidade de carga é, por consequência, uma função linear no tempo.
Passo 3
O que o enunciado quer que façamos na letra (b) é conferir se o a lei de Biot-Savart e a de Coulomb satisfazem as equações de Maxwell. Então, vamos nessa!!
Equação 1:
Então, a primeira equação de Maxwell foi satisfeita.
Equação 2:
Logo, mais uma Equação de Maxwell está satisfeita.
Equação 3:
O resultado é zero, pois, o rotacional do termo é zero. Assim como:
Como a densidade de corrente é independente do tempo, , e a 3 equação de Maxwell também foi satisfeita.
Equação 4:
Por fim, terminamos todas as Equações de Maxwell, é isso!!!
Resposta
Resolução nos passos anteriores.