1. Suponha que uma distribuição de carga   ρ 1 ( r ) produz um potencial V 1 r , e uma outra distribuição de carga ρ 2 ( r ) produz um potencial V 2 r . [As duas situações podem não ter nada em comum, pelo que me importa - talvez a primeira seja uma esfera uniformemente carregada e a segunda seja um capacitor de placas paralelas. Por favor, entenda ρ 1   e   ρ 2   não estão presentes ao mesmo tempo; estamos falando sobre dois problemas diferentes, um no qual somente ρ 1 está presente e outro no qual somente ρ 2 está presente.] Prove o teorema da reciprocidade de Green:
  2. ∫ t o d o   o   e s p a ç o ρ 1 V 2 d τ = ∫ t o d o   o   e s p a ç o ρ 2 V 1 d τ

    [Dica: calcule ∫ E 1 . E 2 d τ de duas formas, escrevendo primeiro E 1 = - ∇ V 1 usando a integração por partes para transferir a derivada para E 2 , depois escreva E 2 = - ∇ V 2 e transfira a derivada para E 1 .]

  3. Suponha agora que você tem dois condutores separados (Figura 3.4l). Se você carregar o condutor a com b quantidade (deixando b sem carga) o potencial de b seria V a , b . Por outro lado, se você puser a mesma carga Q no condutor b (deixando a Sem carga), o potencial de a seria   V b , a . Use o teorema da reciprocidade de Green para mostrar que   V b , a = V a , b (um resultado surpreendente já que não assumimos nada sobre a forma ou localização dos condutores).

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Na letra A, para começar, temos que:

I = ∫ ∇ V 1 . ( ∇ V 2 ) d τ

Mas como ∇ . V 1 ∇ V 2 = ∇ V 1 . ∇ V 2 + V 1 ( ∇ 2 V 2 ) , com isso podemos reescrever a expressão acima, assim :

I = ∫ ∇ . V 1 ∇ V 2 d τ - ∫ V 1 ∇ 2 V 2 d τ = ∮ s V 1 ∇ V 2 . d a + 1 ϵ 0 ∫ V 1 ρ 2 d τ

Porém a superficie está sobre uma enorme esfera no infinito, com isso temos que V 1 e   V 2 → 0 ,   com isso temos que:

I = 1 ϵ 0 ∫ V 2 ρ 1 d τ

E fazendo este mesmo argumento acima trocando 1 com 2, temos o mesmo resultado, assim provamos:

∫ V 2 ρ 1 d τ = ∫ V 1 ρ 2 d τ

Passo 2

Agora para a letra B, temos duas situações, para a situação 1, temos:

Q a = ∫ a ρ 1 d τ = Q , Q b = ∫ b ρ 1 d τ = 0 ; V 1 b ≡ V a b

Agora para situação 2, temos:

Q a = ∫ a ρ 2 d τ = 0 , Q b = ∫ b ρ 2 d τ = Q ; V 2 a ≡ V b a

Com isso podemos dizer também que:

∫ V 1 ρ 2 d τ = V 1 a ∫ a ρ 2 d τ + V 1 b ∫ b ρ 2 d τ = V a b Q

∫ V 2 ρ 1 d τ = V 2 a ∫ a ρ 1 d τ + V 2 b ∫ b ρ 1 d τ = V b a Q

E pelo teorema da reciprocidade de Green, temos:

Q V a b = Q V b a

V a b = V b a

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

Deduções nos passos 1 e 2.