- Suponha que uma distribuição de carga produz um potencial e uma outra distribuição de carga produz um potencial [As duas situações podem não ter nada em comum, pelo que me importa - talvez a primeira seja uma esfera uniformemente carregada e a segunda seja um capacitor de placas paralelas. Por favor, entenda não estão presentes ao mesmo tempo; estamos falando sobre dois problemas diferentes, um no qual somente está presente e outro no qual somente está presente.] Prove o teorema da reciprocidade de Green:
[Dica: calcule de duas formas, escrevendo primeiro usando a integração por partes para transferir a derivada para , depois escreva e transfira a derivada para .]
- Suponha agora que você tem dois condutores separados (Figura 3.4l). Se você carregar o condutor a com b quantidade (deixando b sem carga) o potencial de b seria. Por outro lado, se você puser a mesma carga Q no condutor b (deixando a Sem carga), o potencial de a seria. Use o teorema da reciprocidade de Green para mostrar que (um resultado surpreendente já que não assumimos nada sobre a forma ou localização dos condutores).
[Dica: calcule de duas formas, escrevendo primeiro usando a integração por partes para transferir a derivada para , depois escreva e transfira a derivada para .]
Passo 1
Olá pessoal, bora para mais uma!?
Na letra A, para começar, temos que:
Mas como , com isso podemos reescrever a expressão acima, assim :
Porém a superficie está sobre uma enorme esfera no infinito, com isso temos que com isso temos que:
E fazendo este mesmo argumento acima trocando 1 com 2, temos o mesmo resultado, assim provamos:
Passo 2
Agora para a letra B, temos duas situações, para a situação 1, temos:
Agora para situação 2, temos:
Com isso podemos dizer também que:
E pelo teorema da reciprocidade de Green, temos:
Assim finalizamos mais uma! Até a próxima!
Resposta
Deduções nos passos 1 e 2.