Suponha que o potencial V 0 ( θ ) na superfície de uma esfera é especificado e que não há carga dentro ou fora da esfera. Mostre que a densidade de carga na esfera é dada por

σ θ = ϵ 0 2 R   ∑ i = 0 ∞ 2 l + 1 2 C l P l c o s θ   ,

Onde

C l = ∫ 0 π V 0 θ P l c o s θ s e n θ d θ .

Passo 1

Faaala, galera! Bora pra mais uma. Aqui, vamos relembrar da seguinte expressão para a densidade de carga σ ( θ ) :

σ θ =   ϵ 0 ∑ i = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) A l R l - 1 P l c o s θ   ,

O termo A l é dado por:

A l = 2 l + 1   2 R l ∫ 0 π V o θ P l c o s θ s e n θ d θ

Passo 2

Aplicando a expressão de A l na equação da densidade de carga, teremos:

σ θ =   ϵ 0 ∑ i = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 l + 1   2 R l ∫ 0 π V o θ P l c o s θ s e n θ d θ R l - 1 P l c o s θ   ,

Arrumando essa equação agora, teremos:

σ θ = ϵ 0 2   ∑ i = 0 ∞ 2 l + 1 2 C l P l c o s θ   ,

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

σ θ = ϵ 0 2   ∑ i = 0 ∞ 2 l + 1 2 C l P l c o s θ   ,