Suponha que você envia uma onda de formato específico, g I ( z - v 1 t ) , por uma corda de número 1. Isso faz surgir uma onda refletida, h R ( z - v 1 t ) , e uma onda transmitida, g T ( z - v 2 t ) . Impondo as condições de contorno 9.26 e 9.27, encontre   h R e g T .

Passo 1

Olá pessoal, vamos solucionar mais um probleminha desse capítulo. As condições citadas no enunciado, garantem que tanto a função, quanto sua derivada, são contínuas em torno do ponto inicial (tanto pela esquerda 0 - , quanto pela direita 0 + ). A equação 9.26, nos permitem escrever:

g I   ( - v 1 t ) + h R   ( v 1 t ) = g T   ( - v 2 t )

∂ g I ∂ z =   -   1 v 1 ∂ g I ∂ t         ;       ∂ h R ∂ z =   1 v 1 ∂ h R ∂ t     ;     ∂ g T ∂ z =   -   1 v 2 ∂ g T ∂ t

E a equação 9.27, nos permite escrever:

-   1 v 1 g I   ( - v 1 t ) ∂ t     +   1 v 1 h R   ( v 1 t ) ∂ t   =   -   1 v 2 ∂ g T   ( - v 2 t ) ∂ t

g I   ( - v 1 t )   -   h R   ( v 1 t ) = v 1 v 2 g T   ( - v 2 t ) + k

Onde k é uma constante. Somando essas equações em negrito, temos:

2 g I ( - v 1 t )   =   1 + v 1 v 2 g T   ( - v 2 t ) + k

Ou podemos escrever como:

g T ( - v 2 t )   =   2 v 2 v 1 + v 2 g I   ( - v 1 t ) + k '

Onde k ' =   - k   v 2 v 1 + v 2 . Como g T , g I e h R são funções que dependem das mesmas variáveis ( z , t ) , vamos substituir por uma variável denominada u . Assim temos:

g T ( u )   =   2 v 2 v 1 + v 2 g I   ( v 1 u v 2 ) + k '

Agora vamos multiplicar a primeira equação em negrito por v 1 v 2 e depois vamos subtrair pela equação acima, assim teremos:

1   -   v 1 v 2 g I - v 1 t - 1   -   v 1 v 2 h R v 1 t = k

h R v 1 t = v 2   - v 1 v 1 + v 2 g I   ( - v 1 t )   -   k v 2 v 1 + v 2

Ou,

h R u = v 2   - v 1 v 1 + v 2 g I   ( - u )   -   k '

A notação é complicada, então aqui está um exemplo: para uma onda senoidal:

g I =   A I   c o s ( k 1 z   -   ω t )   =   A I   c o s [ k 1 ( z   -   v 1 t ) ] ⟶ g I ( u ) =   A I   c o s ( k 1 u ) g T =   A T   c o s ( k 2 z   -   ω t )   =   A T   c o s [ k 2 ( z   -   v 2 t ) ] ⟶ g T ( u ) =   A T   c o s ( k 2 u ) h R =   A R   c o s ( - k 1 z   -   ω t )   =   A R   c o s [ - k 1 ( z   + v 1 t ) ] ⟶ h R ( u ) =   A R   c o s ( - k 1 u )

Aqui, k ' = 0 e as condições de contorno dizem (igual a equação 9.32):

A T A I =   2 v 2 v 1 + v 2   ;     A R A I =   v 2   -   v 1 v 1 + v 2

E,

v 1 v 2 k 1 = k 2

Consistente com a equação 9.24.

Resposta

g T ( u )   =   2 v 2 v 1 + v 2 g I   ( v 1 u v 2 ) + k '           ;           h R u = v 2   - v 1 v 1 + v 2 g I   ( - u )   -   k '