Suponha que você quer encontrar o campo de um Circuito circular (Exemplo 5.6) em um ponto r que não está diretamente acima do centro (Figura 5.61). É preferível escolher os eixos de forma que r fique no plano y z em ( 0 , y , z ) .   O ponto fonte é R c o s ϕ   ,   R s e n ϕ , 0   e d vai de 0 a 2 π . Monte as integrais a partir das quais você poderia calcular B x ,   B y   e   B z e calcule explicitamente B.

Passo 1

Olá pessoal bora para mais uma!?

Para começar a resolver está questão podemos partir de:

B = μ 0 I 4 π   ∫ d l ' × r r 3  

Onde r = - R c o s ϕ x ^ + y - R s i n ϕ y ^ + z z ^ , ressaltando também que:

r 2 = R 2 ϕ   + y 2 - 2 R y s i n ϕ + R 2 ϕ   + z 2

Ou melhor escrevendo, temos que:

r 2 = R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ  

Temos as coordenadas de origem ( x ’ , y ’ , z ’ ) para satisfazer, temos que:

{ x ' = R c o s ϕ → d x ' = - R s i n ϕ d ϕ   y ' = R s i n ϕ → d y ' = R c o s ϕ d ϕ   z ' = 0 → d z ' = 0  

Assim temos que:

d l ' = - R s i n ϕ d ϕ x ^ +   R c o s ϕ d ϕ y ^

Passo 2

Agora podemos fazer o produto vetorial da equação do campo magnético, assim temos que:

d l ' × r = x ^   y ^   z ^   - R s i n ϕ d ϕ   R c o s ϕ d ϕ   0   - R c o s ϕ   y - R s i n ϕ   z  

d l ' × r = R z c o s ϕ d ϕ x ^ + R z s i n ϕ d ϕ y ^ + - R y s i n ϕ d ϕ + R 2 d ϕ z ^

Passo 3

E assim podemos encontrar as integrais para B x ,   B y   e   B z , assim temos:

B x = μ 0 I 4 π   ∫ 0 2 π R z c o s ϕ d ϕ R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 3 2 = μ 0 I R z 4 π 1 R y 1 R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 1 2 | 0 2 π

B x = μ 0 I R z 4 π 1 R y 1 R 2 + y 2 + z 2 1 2 = 0

Agora podemos expressar B y     e   B z :

B y = μ 0 I 4 π   ∫ 0 2 π R z s i n ϕ d ϕ R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 3 2

B z = μ 0 I 4 π   ∫ 0 2 π - R y s i n ϕ + R 2 d ϕ R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 3 2

Assim finalizamos mais uma questão! Até a próxima!

Resposta

B x = 0

B y = μ 0 I 4 π   ∫ 0 2 π R z s i n ϕ d ϕ R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 3 2

B z = μ 0 I 4 π   ∫ 0 2 π - R y s i n ϕ + R 2 d ϕ R 2 + y 2 + z 2 - 2 R y s i n ϕ 3 2