The capacitor current in the circuit of Fig. 9.38 is i C = 40 e - 100 t - 30 e - 200 t   m A . If C = 1 mF and V 0 =   - 0.5   V , find:

a) V(t);

b) i R ( t ) ;

c) i ( t ) .

Passo 1

a) Fala, galera! Para esse primeiro item, devemos encontrar a expressão para a tensão do capacitor. Para isso devemos lembrar da expressão da tensão do capacitor, que vem de uma manipulação algébrica da fórmula da corrente no capacitor:

Corrente no capacitor:

i C = C d v d t

Tensão no capacitor:

V c t = 1 C   ∫ 0 t i c d t + V c ( 0 )

Aplicando a expressão da corrente dada no enunciado:

V c t = 1 C ∫ 0 t i c d t - 0.5 = 1 C ∫ 0 t ( 40 e - 100 t - 30 e - 200 t ) d t - 0.5  

E resolvendo, teremos:

V c t = - 2 5 e - 100 t - 1 + 3 02 e - 200 t - 1 - 0.5

Então, a expressão para a tensão no capacitor será:

V c t = 0.15 e - 200 t - 0.4 e - 100 t - 0.25   V

Passo 2

b) Agora com os valores dados para as raízes s1 e s2 (os expoentes da expressão da corrente no capacitor dada no enunciado), calcularemos α e ω 0 para encontrar o valor dos elementos do circuito R e L:

Para calcular α primeira igualaremos as raízes a expressão pras raízes da equação característica de um circuito de segunda ordem:

S 1,2 =   α ± α 2 - ω 0 2

As equações ficarão:

- 100 = α + α 2 - ω 0 2                     ( 1 )

- 200 =   α - α 2 - ω 0 2                   ( 2 )

Aqui, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Podemos somar a equação (1) na (2), para ficar com:

- 300 =   - 2 α

α = 150   s - 1

Com isso já podemos calcular o valor de R com a expressão de α :

α = 1 2 R C

150 = 1 2 × R × 1 × 10 - 3

R = 3.333   Ω

Agora calcularemos ω 0 aplicando o valor de α na equação de qualquer uma das raízes:

- 200 =   - 150 - 150 2 - ω 0 2

ω 0 = 141.42315   r a d / s

Aplicando esse valor na fórmula do ω 0 para encontrar L:

ω 0 = 1 L C

141.423 2 = 1 L × 1 × 10 - 3

L = 0.5   H

E pra finalizar este item, encontraremos a expressão da corrente i R ( t ) , que será dada por:

i R t = V R = 0.15 e - 200 t - 0.4 e - 100 t - 0.25 3.3333 =   0 . 045 e - 200 t - 0 . 12 e - 100 t - 0.15   A

Passo 3

c) E por fim, a corrente i(t), será dada por:

i t = - i R t - i C t  

Lembrando que a corrente de iC foi dada em mA, logo vamos multiplicar iR por 10 3 para igualar as casas decimais:

i t = - 1 × 10 3 ( 0.045 e - 200 t - 0.12 e - 100 t - 0.15 ) - ( 40 e - 100 t - 30 e - 200 t )

i t = 80 e - 100 t - 15 e - 200 t - 0.15   m A   p a r a   t > 0

Resposta

a) V c t = 0.15 e - 200 t - 0.4 e - 100 t - 0.25   V b)   i R t = 0.045 e - 200 t - 0.12 e - 100 t - 0.15   A

c) i t = 80 e - 100 t - 15 e - 200 t - 0.15   m A   p a r a   t > 0