a) If the capacitor shown in Fig. 7.1 has a capacitance of 0.2   μ F , let V c = 5 + 3 cos 2 ⁡ 200 t   V   , and find I c t .

b) What is the maximum energy stored in the capacitor?

c) If I c = 0 for t < 0 and I c = 8 e - 100 t   m A for t > 0 , find V c t for t > 0 .

d) If I c = 8 e - 100 t   m A for t > 0 and V c 0 = 100   V , find V c ( t ) for t > 0 .

Passo 1

a) Fala galera! Belezinha? Aqui ele nos pediu para achar a expressão da corrente, com os dados da capacitância e tensão. Aí facilitaram pra gente né? Hahaha, basta nos lembrarmos da expressão geral para a corrente de capacitores:

I c = C d v d t

Basta a gente derivar a expressão da tensão e multiplica pela capacitância:

d v d t =   - 6 s e n 200 t cos ⁡ 200 t

Portanto:

I c = 0.2 × 10 - 6 × - 6 s e n 200 t cos ⁡ 200 t =   - 0.12 s e n 400 t   m A

Passo 2

b) Para encontrar o máximo armazenado pelo capacitor, basta aplicarmos a fórmula:

E = C V 2 2

E = 0.2 × 10 - 6 5 + 3 cos 2 ⁡ 200 t 2 2 = 6.4   μ J

Passo 3

c) Aqui faremos o inverso do que fizemos na letra a) encontraremos a tensão a partir da corrente, através da seguinte expressão:

V c = 1 C ∫ 0 t I c   d t

V c = 1 0.2 × 10 - 6 ∫ 0 t 8 e - 100 t ×   10 - 3   d t = 400 - 400 e 100 t   V

Passo 4

d) E finalmente, para o nosso último item, para encontrarmos a expressão da tensão, para a condição inicial V c = 100   V , basta somarmos essa condição para a expressão obtida anteriormente:

V c = 1 C ∫ 0 t I c   d t

V c = 100 + 400 - 400 e 100 t   = 500 - 400 e - 100 t   V

Resposta

  1. I c =   - 0.12 s e n 400 t   m A
  2. E   a r m a z e n a d a = 6.4   μ J
  3. V c = 400 - 400 e - 100 t   V
  4. Vc = 500-400e^-100t V