In the circuit of Fig. 9.39, L = 1 mH and C = 100 μ F .

a) Choose R = 0.1RC, Where RC is the value required to achieve critical damping.

b) If i(0-) = 4 A and v 0 - = 10   V , find i ( t ) for t > 0

Passo 1

a) Faaala, galera! Bora pra mais uma de RLC. Para encontrar o valor de R, aqui podemos lembrar que para um circuito criticamente amortecido teremos a seguinte relação:

α = ω 0

E como:

α = 1 2 R C

E:

ω 0 = 1 L C

Podemos chegar a seguinte expressão:

1 2 R c C = 1 L C

E rearrumando, chegamos a seguinte expressão para Rc:

R c = 1 2 L C = 1 2 1 × 10 - 3 × 100 × 10 - 6   = 1.581   Ω

E como R =0.1RC:

R = 0.1 × 1.581 = 158.1   m Ω

Passo 2

b) Para encontrar a expressão de i ( t ) , primeira vamos encontrar o valor das frequências do circuito RLC α   e   ω 0 :

α = 1 2 R C = 1 2 × 158.1 × 10 - 3 × 100 × 10 - 6 = 3.162 × 10 4   s - 1

E:

ω 0 = 1 L C = 1 1 × 10 - 3 × 100 × 10 - 6

Agora encontraremos o valor das raízes da equação característica, que serão dadas por:

S 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

S 1 =   - 158.5   s - 1

S 2 = - 6.31 × 10 4   s - 1

Já que temos duas raízes reais distintas, poderemos escrever a expressão da corrente da seguinte forma:

i t = A 1 e - 158.5 t + A 2 e - 6.31 × 10 4 t

Agora vamos encontrar o valor das constantes A1 e A2.

Como sabemos do enunciado que i 0 - = 4   A e a corrente no indutor não pode mudar abruptamente, i(0+) também será 4 A, portanto:

4 = A 1 + A 2             ( 1 )

E agora podemos lembrar da fórmula da tensão no indutor:

Lembrando que o circuito é paralelo, logo a tensão no indutor é a mesma do capacitor e como a tensão no capacitor não muda abruptamente v 0 - = v 0 + .

v 0 + = L d i d t

Logo:

v 0 + = L d i d t = 10 - 3 d i d t = 10  

E então:

10 - 3 - 158.5 A 1 - 6.31 × 10 4 A 2 = 10             ( 2 )

Agora podemos montar um sistema com (1) e (2):

4 = A 1 + A 2             ( 1 )

10 - 3 - 158.5 A 1 - 6.31 × 10 4 A 2 = 10             ( 2 )

E resolvendo:

A 1 = 4.169               e                     A 2 =   - 0.169

E finalmente a expressão de i(t) será:

i t = 4.169 e - 158.5 t - 0.169 e - 6.31 × 10 4 t           A

Resposta

a) R = 158.1   m Ω

b) i t = 4.169 e - 158.5 t - 0.169 e - 6.31 × 10 4 t           A