In the circuit of Fig. 9.39, let L = 5 H, R = 8 Ω, C = 12.5 mF, and v 0 + = 40   V . Find:

a )   v ( t ) if i (0+) = 8 A;

b) i(t) if i C (0+) = 8 A.

Passo 1

a) Faaala, galera! Bora praticar circuitos RLC? Aqui, primeiramente, vamos calcular o valor das frequências α     e   ω 0 :

A frequência de neper ou fator de amortecimento α para um circuito RLC paralelo é dada por:

α = 1 2 R C

Aplicando os valores:

α = 1 2 × 8 × 12.5 × 10 - 3 = 5  

A frequência ressonante ou frequência natural não amortecida ω 0 é expressa por:

ω 0 = 1 L C

Aplicando os valores:

ω 0 = 1 5 × 12.5 × 10 - 3 = 4

As raízes da equação característica do circuito de segunda ordem serão obtidas através da seguinte fórmula:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2  

Aplicando os valores obtido anteriormente:

S 1,2 =   - 5 ± 25 - 16

S 1 =   - 2

S 2 =   - 8

Como temos duas raízes reais e distintas a expressão da tensão v ( t ) do capacitor terá a seguinte forma:

v t = A 1 e S 1 t + A 2 e S 2 t

Aplicando o valor das raízes:

v t = A 1 e - 2 t + A 2 e - 8 t   ( 1 )

Agora para descobrir o valor das constantes A1 e A2, vamos utilizar as condições iniciais dadas pelo enunciado:

Primeiro vamos ter que v 0 + = 40   V , logo:

40 = A 1 e - 2 . 0 + A 2 e - 8 . 0

40 = A 1 + A 2                   ( 3 )

Agora vamos utilizar a expressão de d v / d t   e usar i 0 + = 8   A , da seguinte forma:

d v ( 0 ) d t =   - v ( 0 + ) R C - i ( 0 + ) C

d v ( 0 ) d t =   - v ( 0 + ) R . C - R . i ( 0 + ) R . C

d v ( 0 ) d t =   1 C v ( 0 + ) R - i 0 +

Aplicando os valor de i(0+):

d v ( 0 ) d t =   1 12.5 × 10 - 3 40 8 - 8 =   - 1040

Derivando a expressão (1) em t=0, teremos:

v s =   - 2 A 1 - 8 A 2 =   - 1040

- 2 A 1 - 8 A 2 =   - 1040                     ( 4 )

Utilizando as equações (3) e (4), podemos montar um sistema de equações para encontrar A1 e A2:

40 = A 1 + A 2                   ( 3 )

- 2 A 1 - 8 A 2 =   - 1040                     ( 4 )

Resolvendo o sistema teremos que:

A 1 =   - 120                           e                                 A 2 = 160

Portanto a expressão final para a tensão no capacitor será:

v t =   - 12 - e - 2 t + 160 e - 8 t       V         p a r a   t > 0

Passo 2

b) Como já temos as raízes da equação característica do nosso circuito de segunda ordem, teremos que a expressão da corrente será da seguinte forma:

i t = A 3 e - 2 t + A 4 e - 8 t         ( 5 )

Sabemos do enunciado que i C 0 + = 8   A   e i R ( 0 + ) será:

i R 0 + = v ( 0 + ) R = 40 8 = 5   A

Se adotarmos t = 0 a expressão (5) será:

i 0 + = A 3 + A 4                 ( 6 )

E se fizermos a LKC ao nó inferior e como i C 0 + = 8   A , teremos que:

i 0 + =   - i R 0 + - i C 0 + =   - 5 - 8 =   - 13   A

Lembrando da equação da tensão no indutor, encontraremos:

v = L d i d t

d i d t = v L = 40 5 = 8   A / s

Se derivarmos (5), teremos a seguinte equação

d i d t =   - 2 A 3 - 8 A 4 = 8                   ( 7 )

Agora podemos montar um sistema com (6) e (7) para encontrar os valores de A3 e A4:

- 13 = A 3 + A 4                 ( 6 )

8 = - 2 A 3 - 8 A 4                 ( 7 )

Resolvendo o Sistema acima chegaremos a:

A 3 =   - 16                           e                                 A 4 = 3

E finalmente, a nossa expressão pra corrente i(t) será:

i t =   - 16 e - 2 t + 3 e - 8 t   A         p a r a   t > 0

E aqui finalizamos mais uma família! 😉

Resposta

a) v t =   - 12 - e - 2 t + 160 e - 8 t       V         p a r a   t > 0

b) i t =   - 16 e - 2 t + 3 e - 8 t   A         p a r a   t > 0