In the circuit of Fig. 9.39, let L = 5 H, R = 8 Ω, C = 12.5 mF, and . Find:
if (0+) = 8 A;
b) i(t) if (0+) = 8 A.
Passo 1
a) Faaala, galera! Bora praticar circuitos RLC? Aqui, primeiramente, vamos calcular o valor das frequências :
A frequência de neper ou fator de amortecimento para um circuito RLC paralelo é dada por:
Aplicando os valores:
A frequência ressonante ou frequência natural não amortecida é expressa por:
Aplicando os valores:
As raízes da equação característica do circuito de segunda ordem serão obtidas através da seguinte fórmula:
Aplicando os valores obtido anteriormente:
Como temos duas raízes reais e distintas a expressão da tensão do capacitor terá a seguinte forma:
Aplicando o valor das raízes:
Agora para descobrir o valor das constantes A1 e A2, vamos utilizar as condições iniciais dadas pelo enunciado:
Primeiro vamos ter que , logo:
Agora vamos utilizar a expressão de e usar , da seguinte forma:
Aplicando os valor de i(0+):
Derivando a expressão (1) em t=0, teremos:
Utilizando as equações (3) e (4), podemos montar um sistema de equações para encontrar A1 e A2:
Resolvendo o sistema teremos que:
Portanto a expressão final para a tensão no capacitor será:
Passo 2
b) Como já temos as raízes da equação característica do nosso circuito de segunda ordem, teremos que a expressão da corrente será da seguinte forma:
Sabemos do enunciado que e será:
Se adotarmos t = 0 a expressão (5) será:
E se fizermos a LKC ao nó inferior e como , teremos que:
Lembrando da equação da tensão no indutor, encontraremos:
Se derivarmos (5), teremos a seguinte equação
Agora podemos montar um sistema com (6) e (7) para encontrar os valores de A3 e A4:
Resolvendo o Sistema acima chegaremos a:
E finalmente, a nossa expressão pra corrente i(t) será:
E aqui finalizamos mais uma família! 😉
Resposta
a)
b)