The circuit shown schematically in Fig. 9.39 is constructed using R = 20 m Ω , C = 50 mF, and L = 2 mH.

a) Find an expression for iR(t) valid t > 0 for if v 0 + = 0 and i ( 0 - ) = 2 mA.

b) Sketch your solution over the range of 0

c) Simulate the circuit using PSpice. Submit a properly labeled schematic with your plot. Does the simulation agree with your analytical result?

Passo 1

a) Faala, pessoal! Tudo tranquilo? Aqui temos um circuito RLC em paralelo e o enunciado nos pede para encontrar uma expressão para IR válida para t > 0. Para isso, primeiro calcularemos o valor das frequências α   e   ω 0 :

Para α teremos:

α = 1 2 R C = 1 2 × 20 × 10 - 3 × 50 × 10 - 3 = 500   s - 1

Para ω 0 , teremos:

ω 0 = 1 L C = 1 2 × 10 - 3 × 50 × 10 - 3 = 100   r a d / s

Agora calcularemos as raízes da equação característica do circuito:

S 1,2 = - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores obtidos anteriormente:

S 1 =   - 10.10 s - 1

S 2 =   - 989.9 s - 1

Como nós temos duas raízes reais distintas, a nossa expressão para IR será da seguinte forma:

i R t = A 1 e - 10.1 t + A 2 e - 989.9 t               ( 1 )

Agora, vamos utilizar as condições iniciais dadas pelo enunciado ( v 0 + = 0 e i 0 - = 2   m A ) para encontrar o valor das constantes A1 e A2.

v 0 + = 0  

Da relação acima, podemos concluir que a i R t = 0 , já que:

i R 0 = v ( 0 + ) R = 0 r = 0

Portanto:

i R 0 = A 1 + A 2 = 0         ( 2 )

Lembrando que:

d i R ( t ) d t = 1 R d v d t             ( 3 )

E que:

i C = C d v d t =   - i - i R

Desenvolvendo a expressão acima, chegaremos em:

i C 0 + = C d v ( 0 + ) d t =   - i 0 + - i R 0 + =   - 2 × 10 - 3 - v 0 + R =   - 2 × 10 - 3       ( 4 )

E poderemos reescrever (3) da seguinte maneira:

d i R ( t ) d t = 1 R 1 C - 2 × 10 - 3 = - 2 × 10 - 3 20 × 10 - 3 × 50 × 10 - 3 =   - 2

Derivando (1) e igualando com o resultado obtido anteriormente:

s 1 A 1 + s 2 A 2 =   - 2                   ( 5 )

Agora montaremos o sistema de equações entre (2) e (5):

A 1 + A 2 = 0         ( 2 )

- 10.10 s - 1 A 1 + - 989.9 s - 1 A 2 =   - 2                   ( 5 )

Resolvendo encontraremos:

A 1 =   - 2.04 × 10 - 3                     e                         A 2 = 2.04 × 10 - 3

E por fim, a expressão para a corrente no resistor será:

i R t =   - 2.04 e - 10.1 t + 2.04 e - 989.9 t     m A                 p a r a   t > 0

Passo 2

b) E aqui teremos que usar um aplicativo para plotar o gráfico da função de i R (t) encontrada anteriormente:

Aqui utilizamos o Geogebra:

Passo 3

c) Aqui simulamos o circuito para comprovar os resultados anteriores:

E como podemos ver, todos os nossos dados obtidos teoricamente bateram com a simulação.

E assim finalizamos a questão 😊

Resposta

a) i R t =   - 2.04 e - 10.1 t + 2.04 e - 989.9 t     m A                 p a r a   t > 0

b)

c)