The circuito f Fig. 9.42 has been in the condition shown for a long time. After the switch closes at t = 0, find:

a )   v ( t ) ;

b) i ( t ) ;

c) the settling time for v ( t ) .

Passo 1

a) Faaala, galera!!! Bora pra mais uma. Primeiramente, para calcular a expressão de v ( t ) , vamos encontrar as condições inicias do circuito. Para t = 0- o circuito estava a muito tempo sob corrente CC, o que significa que o indutor estava se comportando como um curto circuito e o capacitor como um circuito aberto:

A corrente no indutor terá o mesmo valor da fonte de corrente, mas portanto:

i L =   - 0.5   A

A tensão no capacitor será a mesma do resistor de 36 Ω já que estão em paralelo e terá o seguinte valor:

V c = 36 × 0.5 =   18

Com as condições iniciais estabelecidas, vamos calcular as frequências α   e   ω 0 :

A frequência de neper α será dada por:

α = 1 2 R C   = 1 2 × 36 × 1 1440 = 20  

A frequência natural não amortecida ω 0 , será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 10 × 1 1440 = 144

Agora, calcularemos as raízes da equação característica, que serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores obtido anteriormente, teremos:

S 1 = - 4

S 2 =   - 36

Como temos duas raízes reais não distintas a expressão de v ( t ) terá a seguinte forma:

v t = A 1 e - 4 t + A 2 e - 36 t   V               ( 1 )

Agora usaremos as condições iniciais para determinar os valores das constantes A1 e A2. Como temos o valor de V C 0 e o circuito é paralelo, podemos igualar (1) a esse valor para t=0, para obter:

v 0 = A 1 e - 4 × 0 + A 2 e - 36 × 0 = 18

A 1 + A 2 = 18           ( 2 )

Agora manipulando a equação de segundo grau do circuito RLC em paralelo, vamos ter:

d v ( 0 + ) d t = - v 0 + R C - I ( 0 + ) C

d v ( 0 + ) d t = 1 C - v 0 + R - i 0 + = 1 1 1440 0.5 - 18 36 = 0

Igualando a derivada de (1) ao valor obtido anteriormente, teremos:

d v ( 0 + ) d t =   - 14 A 1 - 36 A 2 = 0

- 14 A 1 - 36 A 2 = 0                       ( 3 )

Montando um sistema com (2) e (3), teremos:

A 1 + A 2 = 18          

- 14 A 1 - 36 A 2 = 0          

Resolvendo o sistema, teremos:

A 1 = 20.25                     e                         A 2 =   - 2.25

Aplicando os valores em (1):

v t = 20.25 e - 4 t - 2.25 e - 36 t         V       p a r a   t > 0

Passo 2

b) Aplicando a análise nodal no nó superior do circuito RLC em paralelo, teremos:

i R + i C = i L

i L t = i R + i C = v 36 + 1 1440 d v d t

i L = 20.25 e - 4 t - 2.25 e - 36 t 36 + - 81 e - 4 t + 81 e - 36 t 1440  

i L = 0.5625 e - 4 t - 0.0625 e - 36 t - 0.05625 e - 4 t + 0.05625 e - 36 t

Portanto:

i L t = 0.50625 e - 4 t - 0.00625 e - 36 t   A       p a r a   t > 0

Passo 3

c) A tensão máxima do circuito será medida em t=0, pois, após a abertura da chave o circuito começará a dissipar energia e a tensão irá diminuir conforme mostrado a expressão de v(t) encontrada no item a). O tempo de assentamento é o tempo para que a tensão alcance cerca de 1% do valor do valor da tensão, ou seja, se V 0 max ⁡ = 18   V , o tempo de assentamento será o tempo em que a tensão será cerca de 0.1 × 18 =   0.18   V , portanto:

0 . 18 = 20.25 e - 4 t - 2.25 e - 36 t

Resolvendo, teremos:

t =   1.8074 ≅ 1.81   s

E assim finalizamos a questão, galera! 😊

Resposta

a) v t = 20.25 e - 4 t - 2.25 e - 36 t         V       p a r a   t > 0

b) i L t = 0.50625 e - 4 t - 0.00625 e - 36 t   A       p a r a   t > 0

c) t ≅ 1.81   s