The circuito f Fig. 9.42 has been in the condition shown for a long time. After the switch closes at t = 0, find:
;
b) ;
c) the settling time for .
Passo 1
a) Faaala, galera!!! Bora pra mais uma. Primeiramente, para calcular a expressão de , vamos encontrar as condições inicias do circuito. Para t = 0- o circuito estava a muito tempo sob corrente CC, o que significa que o indutor estava se comportando como um curto circuito e o capacitor como um circuito aberto:
A corrente no indutor terá o mesmo valor da fonte de corrente, mas portanto:
A tensão no capacitor será a mesma do resistor de 36 já que estão em paralelo e terá o seguinte valor:
Com as condições iniciais estabelecidas, vamos calcular as frequências :
A frequência de neper será dada por:
A frequência natural não amortecida , será dada por:
Agora, calcularemos as raízes da equação característica, que serão dadas por:
Aplicando os valores obtido anteriormente, teremos:
Como temos duas raízes reais não distintas a expressão de terá a seguinte forma:
Agora usaremos as condições iniciais para determinar os valores das constantes A1 e A2. Como temos o valor de e o circuito é paralelo, podemos igualar (1) a esse valor para t=0, para obter:
Agora manipulando a equação de segundo grau do circuito RLC em paralelo, vamos ter:
Igualando a derivada de (1) ao valor obtido anteriormente, teremos:
Montando um sistema com (2) e (3), teremos:
Resolvendo o sistema, teremos:
Aplicando os valores em (1):
Passo 2
b) Aplicando a análise nodal no nó superior do circuito RLC em paralelo, teremos:
Portanto:
Passo 3
c) A tensão máxima do circuito será medida em t=0, pois, após a abertura da chave o circuito começará a dissipar energia e a tensão irá diminuir conforme mostrado a expressão de v(t) encontrada no item a). O tempo de assentamento é o tempo para que a tensão alcance cerca de 1% do valor do valor da tensão, ou seja, se , o tempo de assentamento será o tempo em que a tensão será cerca de , portanto:
Resolvendo, teremos:
E assim finalizamos a questão, galera! 😊
Resposta
a)
b)
c)