The total charge accumulated by a certain device is given as a function of time by   q = 18 t 2 - 2 t 4   ( i n   S I   u n i t s ) .

a) What total charge is accumulated at t= 2s?

b) What is the maximum charge accumulated in the interval 0 ≤ t ≤ 3 s , and when does it occur?

c) At what rate is charge being accumulated at t = 0.8s?

d) Sketch curves of q versus t and i   versus t in the interval 0 ≤ t ≤ 3 s .

Passo 1

a) Como já nos foi dada a expressão da carga em função do tempo, basta substituirmos os valores:

            q 2 = 18 × 2 2 - 2 × 2 4 = 72 - 32 = 40   C

Passo 2

b) Para esse item vamos ter que lembrar um pouquinho das matérias dada lá em Cálculo1. Para encontrar o valor máximo dentro do intervalo, vamos precisar primeiramente calcular a primeira e a segunda derivada da expressão da carga:

d q d t = 36 t - 8 t 3

d 2 q d t 2 = 36 - 24 t 2

Para encontrar os máximos e mínimos devemos encontrar os valores de t para os quais a derivada será 0 (que serão ou o topo ou o fundo da nossa função da carga):

d q d t = 36 t - 8 t 3 = 0               t = 0     o u   t =   ± 2.121   s  

( - 2.121   n ã o   e s t á   n o   i n t e r v a l o   d a d o )

Agora pra saber quais desses pontos são máximos da função, devemos aplicar os valores encontrados na segunda derivada para saber se o valor será negativo ou positivo. Caso da segunda derivada naquele ponto seja positivo teremos um mínimo da função e caso seja negativo teremos um máximo.

Aplicando os valores na segunda derivada:

d 2 q d t 2 0 = 36         o u   s e j a ,   e m   t = 0   t e m o s   u m   m í n i m o

d 2 q d t 2 2.121 = - 71.967         o u   s e j a ,   e m   t = 2.121   t e m o s   u m   m á x i m o

E o valor do máximo será:

q 2.121 = 18 × 2.121 2 - 2 × 2.121 4 = 40.5   C

Passo 3

c) Para encontrar a taxa de acumulação, devemos lembrar que taxa de variação é dada pela primeira derivada da função, logo, a taxa de acumulação de carga em t= 0.8s será dada pela primeira derivada da função da carga em t = 0.8s:

d q d t 0.8 = 36 × 0.8 - 8 × 0.8 3 = 24.7 C s

Passo 4

d) As curvas para os gráficos q × t e i × t serão:

Lembrando que a corrente é a derivada da carga no tempo (variação da carga), portanto o gráfico da corrente será o gráfico da primeira derivada da carga:

Gráfico q × t :

Gráfico i × t :

Resposta

a) q 2 = 40   C

b) m á x i m o     q = 40.5   C   e m   t = 2.121 s

c) 24.7 C s