The values R = 15 μ Ω , C = 50 μ F , and L = 2 μ H are used in the circuit of Fig. 9.39.

a) Find an expression for i C ( t ) valid for t > 0 if v ( 0 + ) = 2 and i 0 - = 0 .

b) Sketch your solution over the range of 0

c) Simulate the circuit using PSpice. Submit a properly labeled schematic with your plot. Does the simulation agree with your analytical result?

Passo 1

a) Faaala, galera! Bora pra mais uma. Aqui o enunciado nos pediu para calcular a expressão de i C t válida para t > 0. Para isso vamos primeiramente calcular as frequências α   e   ω 0 :

A frequência de neper α será dada por:

α = 1 2 R C = 1 2 × 15 × 10 - 6 × 50 × 10 - 6 = 6.667 × 10 8   s - 1

A frequência natural não amortecida ω 0 será dada por:

ω 0 = 1 L C = 1 2 × 10 - 3 × 50 × 10 - 6 = 10 5   r a d / s

Agora calcularemos as raízes da equação característica que serão dadas por:

S 1,2 =   - α ± α 2 - ω 0 2

Aplicando os valores teremos:

S 1 =   - 7 . . 5   s - 1

S 2 =   1.333 × 10 9   s - 1

Como temos duas raízes reais distintas a expressão para a tensão i C ( t ) será da seguinte forma:

i C ( t ) = A 1 e - 7.5 t + A 2 e - 1.333 × 10 9 t               ( 1 )

Agora teremos que utilizar as condições iniciais fornecidas pelo enunciado para encontrar o valor das constantes A1 e A2. Primeiro sabendo que i ( 0 - ) = 0 como dito no enunciado e que i 0 - = i ( 0 + ) pois a corrente no indutor não pode varia abruptamente, poderemos aplicar a LKC no nó superior do circuito para obter:

0 = - i C 0 + - i R

i C =   - i R

Como:

i R = V ( 0 + ) R = 2 15 × 10 - 6 = 0.133 × 10 6

Então i C será:

i C 0 = - i R = - 0.133 × 10 6  

Então, podemos igualar (1) ao resultado obtido anteriormente para obter:

- 0.133 × 10 6 = A 1 e - 7.5 × × 0 + A 2 e - 1.333 × 10 9 × 0            

A 1 + A 2 =   - 0.133 × 10 6               ( 2 )

E agora lembrando da fórmula da tensão no indutor, podemos tirar a seguinte relação, levando em conta que estamos considerando um circuito RLC em paralelo (ou seja, a tensão no indutor será a mesma tensão no capacitor que foi informada non enunciado):

L d i d t = 2

Logo:

d i d t = 2 2 × 10 - 6 = 10 6

E lembrando da fórmula da corrente no capacitor:

i C = C d v d t

E que:

d i R d t = 1 R d v d t

Logo podemos substituir d v / d t que encontramos na equação do capacitor na equação da derivada da corrente no resistor:

d i R d t = i C C R = 1 C R A 1 e - 7.5 t + A 2 e - 1.333 × 10 9 t

E usando novamente a LKC no nó superior do circuito:

d i d t + d i R d t + d i C d t = 0

Substituindo os valores de di/dt e diR/dt para t=0, teremos:

d i C d t =   - 7.4 A 1 - 1.33 × 10 9 A 2 =   - 10 6 - 1 C R A 1 + A 2       ( 3 )

Agora podemos montar um sistema com as equações (2) e (3):

A 1 + A 2 =   - 0.133 × 10 6          

- 7.4 A 1 - 1.33 × 10 9 A 2 + 1 50 × 10 - 6 × 15 - 6 A 1 + A 2 =   - 10 6

Resolvendo o sistema, encontraremos:

A 1 =   - 0.75 × 10 - 3                       e                         A 2 =   - 0.1333 × 10 6

E finalmente, substituiremos o valor das constantes em (1) para chegarmos na expressão da corrente no capacitor:

i C t = - 0.75 × 10 - 3 e - 7.5 t - 0.1333 × 10 6 e - 1.333 × 10 9 t     A         p a r a   t > 0    

Passo 2

b) Plotando o gráfico da expressão obtida para i C t válida para t> 0, encontraremos:

Passo 3

c) Agora vamos simular o circuito, para ver se os dados obtidos analiticamente convergirão com a simulação:

Aqui utilizamos o software Multisim, para simular o circuito.

E com parando o gráfico plotado com a simulação, podemos ver que os dados bateram.

E assim finalizamos mais um exercício, galera. Até a próxima! 😊

Resposta

a) i C t = - 0.75 × 10 - 3 e - 7.5 t - 0.1333 × 10 6 e - 1.333 × 10 9 t     A         p a r a   t > 0    

b)

c)