Se J l = 0   em toda parte, o rotacional de H se anula (Equação 6.19), e podemos expressar H como o gradiente de um potencial escalar W:

H = - ∇ W .

Segundo a Equação 6.23, então,

∇ ² W = ( V ∙ M ) ,

de forma que W obedece à equação de Poisson, com ∇ ∙ M como a 'fonte'. Isso abre a possibilidade de usar todo o mecanismo do Capítulo 3. Como exemplo, encontre o campo dentro de uma esfera uniformemente magnetizada (Exemplo 6.1) pela separação de variáveis. [Dica: ∇ ∙ M = 0 em toda parte exceto a superfície (r=R), de forma que W satisfaz a equação de Laplace nas regiões rR; use a Equação 3.65 e, a partir da Equação 6.24, encontre a condição de contorno apropriada para W.]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Pela equação 6.19, temos que:

∇ × H = J l

Mas J l = 0 , então ∇ × H = 0 , assim podemos expressar H sendo:

H = - ∇ W

E vamos separa W em duas regiões, para r

W r < R r , θ = ∑ A l r l P l c o s θ

E para r>R, temos que:

W r > R r , θ = ∑     B l r l + 1 P l c o s θ              

Sendo que temos algumas condições de contorno, expressas abaixo.

i ) W r < R R , θ = W r > R R , θ

i i ) - ∂ ∂ r W r > R R + ∂ ∂ r W r < R R = M ⊥ = M z ^ ∙ r ^ = M c o s θ

Passo 2

Sabendo as expressões para W e combinando com as condições de contorno, temos que:

Por (i), temos:

A l R l = B l R l + 1

Isolando B l , temos:

B l = A l R l R l + 1 = A l R 2 l + 1

Por (ii), temos que:

∑ l + 1 B l R l + 2 P l c o s θ + ∑ l A l R l - 2 P l c o s θ = M c o s θ

Agora combinando i e ii, temos que:

∑ l + 1 A l R 2 l + 1 R l + 2 P l c o s θ + ∑ l A l R l - 2 P l c o s θ = M c o s θ

∑ l + 1 A l R l - 1 P l c o s θ + ∑ l A l R l - 2 P l c o s θ = M c o s θ

∑ 2 l + 1 R l - 1 A l P l c o s θ = M c o s θ

Assim A l = 0 , e que :

3 A 1 = M

A 1 = M 3

Passo 3

Temos então que:

W r > R r , θ = M 3 r c o s θ = M 3 z

H r > R = - ∇ W r > R = - M 3 z ^ = 1 3 M

Como sabemos que

B = μ 0 H + M = μ 0 ( - 1 3 M + M )

ou seja

B = 2 3 μ 0 M  

Que é justamente o esperado, assim finalizamos mais uma questão, até a próxima.

Resposta

Dedução nos passos acima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)