Para o tubo retangular do Exemplo 5.4, suponha que o potencial embaixo (y = 0) e dos dois lados ( x =   ± b) seja zero, mas que o potencial em cima ( y   =   a ) seja uma constante V o não nula. Encontre o potencial dentro do tubo. [Nota: esta é uma versão invertida do Problema 3.14(b), mas montada como no Exemplo 3.4 usando funções senoidais em y e hiperbólicas em. E um caso incomum no qual k = 0 deve ser incluída. Comece encontrando a solução geral para a Equação 3.26 quando k   = 0 . Para uma discussão mais detalhada, consulte S. Hassani, Am. J. Phys. 59, 470 (1991). ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Podemos começar pelas condições de contorno:

i )   V = 0   q u a n d o   y = 0

i i )   V = V 0   q u a n d o   y = a

i i i )   V = 0   q u a n d o   x = b

i v )   V = 0   q u a n d o   x = - b

Voltando para a Eq. 3.26 e examinando o caso de k = 0 ,   t e m o s :

d 2 X d x 2 = d 2 Y d y 2 = 0  

Assim temos que:

X x = A x + B ,   Y y = C y + D

Mas como existe uma configuração simétrica em x, ou seja A=0, e com k=0 temos que a solução é Y y = C y + D , escolhemos D=0 e C= V 0 / a e subtraímos desta parte:

V x , y = V 0 y a + V _ ( x , y )

E relembrando que as condições de contorno que satisfazem V _ x , y ,   s ã o :

i ' )   V _ = 0   q u a n d o   y = 0

i i ' )   V _ = 0   q u a n d o   y = a

i i i ' )   V _ = - V 0 ( y / a )   q u a n d o   x = b

i v ' )   V _ = - V 0 ( y / a )   q u a n d o   x = - b

Passo 2

E com isso podemos expressar a solução:

V _ x , y = ∑ n = 1 ∞ C n c o s h c o s h   n π x a s i n s i n   n π y a    

E com a condição i i i ' podemos melhorar esta expressão:

V _ b , y = ∑ C n c o s h c o s h   n π b a s i n s i n   n π y a = - V 0 y a    

E agora aplicando o truque de Fourier, temos:

∑ C n c o s h c o s h   n π b a ∫ 0 a s i n s i n   n π y a   s i n s i n   n ' π y a   d y = - V 0 a ∫ 0 a y s i n n ' π y a d y    

Assim temos que:

a 2 C n c o s h c o s h   n π b a = - V 0 a ∫ 0 a y s i n n π y a d y    

Agora isolando C n e resolvendo a integral, temos que:

C n = - 2 V 0 c o s h a 2 c o s h   n π b a     a n π 2 s i n s i n   n π y a   - a y n π c o s c o s   n π y a   | 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

C n = 2 V 0 c o s h a 2 c o s h   n π b a     a 2 n π c o s c o s   n π   = 2 V 0 n π - 1 n c o s h c o s h   n π b a      

Agora substituindo em V x , y ,   t e m o s :

V x , y = V 0 y a + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n n   c o s h c o s h   n π x a   c o s h c o s h   n π b a     s i n s i n   n π y a    

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima pessoal !

Resposta

V x , y = V 0 y a + 2 π ∑ n = 1 ∞ - 1 n n   c o s h c o s h   n π x a   c o s h c o s h   n π b a     s i n s i n   n π y a